(a) \(A \cap B = \{ 2 \}\text{;}\) (b) \(B \cap C = \{ 5 \}\text{.}\)

(a) \(A \times B = \{ (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3) \}\text{;}\) (d) \(A \times D = \emptyset\text{.}\)

Si \(x \in A \cup (B \cap C)\text{,}\) entonces ya sea \(x \in A\) o \(x \in B \cap C\text{.}\) Luego, \(x \in A \cup B\) y \(A \cup C\text{.}\) Así, \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}\) Por lo tanto, \(A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}\) Recíprocamente, si \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{,}\) entonces \(x \in A \cup B\) y \(A \cup C\text{.}\) Luego, \(x \in A\) o \(x\) está tanto en \(B\) como en \(C\text{.}\) Así \(x \in A \cup (B \cap C)\) y por lo tanto \((A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)\text{.}\) Luego, \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{.}\)

\((A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cap B) \cup (A \cap B') \cup (B \cap A') = [A \cap (B \cup B')] \cup (B \cap A') = A \cup (B \cap A') = (A \cup B) \cap (A \cup A') = A \cup B\text{.}\)

\(A \setminus (B \cup C) = A \cap (B \cup C)' = (A \cap A) \cap (B' \cap C') = (A \cap B') \cap (A \cap C') = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}\)

(a) No es función pues \(f(2/3)\) no está definido; (b) es una función; (c) no es función, pues \(f(1/2) = 3/4\) pero \(f(2/4)=3/8\text{;}\) (d) es una función.

(a) \(f\) es 1-1 pero no es sobre. \(f({\mathbb R} ) = \{ x \in {\mathbb R} : x \gt 0 \}\text{.}\) (c) \(f\) no es 1-1 ni es sobre. \(f(\mathbb R) = \{ x : -1 \leq x \leq 1 \}\text{.}\)

(a) \(f(n) = n + 1\text{.}\)

(a) Sean \(x, y \in A\text{.}\) Entonces \(g(f(x)) = (g \circ f)(x) = (g \circ f)(y) = g(f(y))\text{.}\) Luego, \(f(x) = f(y)\) y \(x = y\text{,}\) so \(g \circ f\) es 1-1. (b) Sea \(c \in C\text{,}\) entonces \(c = (g \circ f)(x) = g(f(x))\) para algún \(x \in A\text{.}\) Como \(f(x) \in B\text{,}\) \(g\) es sobre.

\(f^{-1}(x) = (x+1)/(x-1)\text{.}\)

(a) Sea \(y \in f(A_1 \cup A_2)\text{.}\) Entonces existe \(x \in A_1 \cup A_2\) tal que \(f(x) = y\text{.}\) Luego, \(y \in f(A_1)\) o \(f(A_2) \text{.}\) Por lo tanto, \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Así, \(f(A_1 \cup A_2) \subset f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Recíprocamente, si \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{,}\) entonces \(y \in f(A_1)\) o \(f(A_2)\text{.}\) Luego, existe \(x\) en \(A_1\) o \(A_2\) tal que \(f(x) = y\text{.}\) Entonces existe \(x \in A_1 \cup A_2\) tal que \(f(x) = y\text{.}\) Por lo tanto, \(f(A_1) \cup f(A_2) \subset f(A_1 \cup A_2)\text{,}\) y \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\)

(a) La relación no es simétrica. (b) La erlación no es refleja, pues 0 no es equivalente a sí mismo. (c) La relación no es transitiva.

Sea \(X = {\mathbb N} \cup \{ \sqrt{2}\, \}\) y defina \(x \sim y\) si \(x + y \in {\mathbb N}\text{.}\)

El caso base, \(S(1): [1(1 + 1)(2(1) + 1)]/6 = 1 = 1^2\) es verdadero. Supongamos que \(S(k): 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = [k(k + 1)(2k + 1)]/6\) es verdadero. Entonces

y así \(S(k + 1)\) es verdadero. Luego, \(S(n)\) es verdadero para todos los enteros positivos \(n\text{.}\)

El caso base, \(S(4): 4! = 24 \gt 16 =2^4\) es verdadero. Supongamos que \(S(k): k! \gt 2^k\) es verdadero. Entonces \((k + 1)! = k! (k + 1) \gt 2^k \cdot 2 = 2^{k + 1}\text{,}\) así \(S(k + 1)\) es verdadero. Luego, \(S(n)\) es verdadero para todos los enteros positivos \(n\text{.}\)

Siga la demostración el Ejemplo 2.4.

El caso base, \(S(0): (1 + x)^0 - 1 = 0 \geq 0 = 0 \cdot x\) es verdadero. Supongamos que \(S(k): (1 + x)^k -1 \geq kx\) es verdadero. Entonces

así \(S(k + 1)\) es verdadero. Por lo tanto, \(S(n)\) es verdadero para todos los enteros positivos \(n\text{.}\)

Para (a) y (b) use inducción. (c) Muestre que \(f_1 = 1\text{,}\) \(f_2 = 1\text{,}\) y \(f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n\text{.}\) (d) Use la parte (c). (e) Use la parte (b) y el Ejercicio 2.3.16.

Use el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Use el Principio del Buen-Orden y el algoritmo de división.

Como \(\gcd(a,b) = 1\text{,}\) existen enteros \(r\) y \(s\) tales que \(ar + bs = 1\text{.}\) Luego, \(acr + bcs = c\text{.}\)

Todo primo es de la forma 2, 3, \(6n + 1\text{,}\) o \(6n + 5\text{.}\) Suponga que solo hay un número finito de primos de la forma \(6k + 5\text{.}\)

(a) \(3 + 7 \mathbb Z = \{ \ldots, -4, 3, 10, \ldots \}\text{;}\) (c) \(18 + 26 \mathbb Z\text{;}\) (e) \(5 + 6 \mathbb Z\text{.}\)

(a) No es un grupo; (c) es un grupo.

Elija dos matrices. Casi cualquier par sirve.

Hay un grupo no abeliano con seis elementos.

Considere el grupo de simetrías de un triángulo equilátero o de un cuadrado.

Hay cinco grupos diferentes de orden 8.

Sea

en \(S_n\text{.}\) Todos los \(a_i\) deben ser distintos. Hay \(n\) forman de elegir \(a_1\text{,}\) \(n-1\) formas de elegir \(a_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) 2 formas de elegir \(a_{n - 1}\text{,}\) y solo una forma de elegir \(a_n\text{.}\) Por lo tanto, podemos formar \(\sigma\) de \(n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1 = n!\) maneras.

Como \(abab = (ab)^2 = e = a^2 b^2 = aabb\text{,}\) sabemos que \(ba = ab\text{.}\)

\(H_1 = \{ \identity \}\text{,}\) \(H_2 = \{ \identity, \rho_1, \rho_2 \}\text{,}\) \(H_3 = \{ \identity, \mu_1 \}\text{,}\) \(H_4 = \{ \identity, \mu_2 \}\text{,}\) \(H_5 = \{ \identity, \mu_3 \}\text{,}\) \(S_3\text{.}\)

La identidad de \(G\) es \(1 = 1 + 0 \sqrt{2}\text{.}\) Como \((a + b \sqrt{2}\, )(c + d \sqrt{2}\, ) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}\text{,}\) \(G\) es cerrado bajo multiplicación. Finalmente, \((a + b \sqrt{2}\, )^{-1} = a/(a^2 - 2b^2) - b\sqrt{2}/(a^2 - 2 b^2)\text{.}\)

Considere \(S_3\text{.}\)

\(b a = a^4 b = a^3 a b = ab\)

(a) Falso; (c) falso; (e) verdadero.

(a) 12; (c) infinito; (e) 10.

(a) \(7 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -7, 0, 7, 14, \ldots \}\text{;}\) (b) \(\{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}\text{;}\) (c) \(\{ 0 \}\text{,}\) \(\{ 0, 6 \}\text{,}\) \(\{ 0, 4, 8 \}\text{,}\) \(\{ 0, 3, 6, 9 \}\text{,}\) \(\{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\text{;}\) (g) \(\{ 1, 3, 7, 9 \}\text{;}\) (j) \(\{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\)

(a)

(c)

(a) \(0\text{;}\) (b) \(1, -1\text{.}\)

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

(a) \(-3 + 3i\text{;}\) (c) \(43- 18i\text{;}\) (e) \(i\)

(a) \(\sqrt{3} + i\text{;}\) (c) \(-3\text{.}\)

(a) \(\sqrt{2} \cis( 7 \pi /4)\text{;}\) (c) \(2 \sqrt{2} \cis( \pi /4)\text{;}\) (e) \(3 \cis(3 \pi/2)\text{.}\)

(a) \((1 - i)/2\text{;}\) (c) \(16(i - \sqrt{3}\, )\text{;}\) (e) \(-1/4\text{.}\)

(a) 292; (c) 1523.

\(|\langle g \rangle \cap \langle h \rangle| = 1\text{.}\)

El elemento identidad en cualquier grupo tiene orden finito. Si \(g, h \in G\) tienen orden \(m\) y \(n\text{,}\) respectivamente, como \((g^{-1})^m = e\) y \((gh)^{mn} = e\text{,}\) se cumple que los elementos de orden finito en \(G\) forman un subgrupo de \(G\text{.}\)

Si \(g\) es un elemento distinto de la identidad en \(G\text{,}\) entonces \(g\) debe generar todo \(G\text{;}\) de lo contrario, \(\langle g \rangle\) sería un subgrupo propio no trivial de \(G\text{.}\)

(a) \((12453)\text{;}\) (c) \((13)(25)\text{.}\)

(a) \((135)(24)\text{;}\) (c) \((14)(23)\text{;}\) (e) \((1324)\text{;}\) (g) \((134)(25)\text{;}\) (n) \((17352)\text{.}\)

(a) \((16)(15)(13)(14)\text{;}\) (c) \((16)(14)(12)\text{.}\)

\((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1} = (a_1, a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_2)\)

(a) \(\{ (13), (13)(24), (132), (134), (1324), (1342) \}\) no es un subgrupo.

\((12345)(678)\text{.}\)

Permutaciones de la forma

son posibles en \(A_5\text{.}\)

Calcule \((123)(12)\) y \((12)(123)\text{.}\)

Considere los casos \((ab)(bc)\) y \((ab)(cd)\text{.}\)

Para la parte (a), muestre que \(\sigma \tau \sigma^{-1 }(\sigma(a_i)) = \sigma(a_{i + 1})\text{.}\)

El orden de \(g\) y el orden de \(h\) deben ambos dividir el orden de \(G\text{.}\)

Los órdenes posibles deben ser divisores de 60.

Esto es verdadero para todo subgrupo propio no trivial.

Falso.

(a) \(\langle 8 \rangle\text{,}\) \(1 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(2 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(3 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(4 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(5 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(6 + \langle 8 \rangle\text{,}\) and \(7 + \langle 8 \rangle\text{;}\) (c) \(3 {\mathbb Z}\text{,}\) \(1 + 3 {\mathbb Z}\text{,}\) and \(2 + 3 {\mathbb Z}\text{.}\)

\(4^{\phi(15)} \equiv 4^8 \equiv 1 \pmod{15}\text{.}\)

Sea \(g_1 \in gH\text{.}\) Muestre que \(g_1 \in Hg\) y por lo tanto \(gH \subset Hg\text{.}\)

Muestre que \(g(H \cap K) = gH \cap gK\text{.}\)

Si \(\gcd(m,n) = 1\text{,}\) entonces \(\phi(mn) = \phi(m)\phi(n)\) (Ejercicio 2.3.26 en el Capítulo 2).

LAORYHAPDWK

Hint: V = E, E = X (also used for spaces and punctuation), K = R.

\(26! - 1\)

(a) 2791; (c) 112135 25032 442.

(a) 31; (c) 14.

(a) \(n = 11 \cdot 41\text{;}\) (c) \(n = 8779 \cdot 4327\text{.}\)

No puede ser un código de gruops pues \((0000) \notin C\text{.}\)

(a) 2; (c) 2.

(a) 3; (c) 4.

(a) \(d_{\min} = 2\text{;}\) (c) \(d_{\min} = 1\text{.}\)

1. \((00000), (00101), (10011), (10110)\)

   \begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

2. \((000000), (010111), (101101), (111010)\)

   \begin{equation*} G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

Multiples errores ocurren en una de las palabras recibidas.

(a) Es matriz verificadora canónica con matriz generadora estándar

(c) Es matriz verificadora canónica con matriz generadora estándar

(a) Ocurren todos los posibles síndromes.

(a) \(C\text{,}\) \((10000) + C\text{,}\) \((01000) + C\text{,}\) \((00100) + C\text{,}\) \((00010) + C\text{,}\) \((11000) + C\text{,}\) \((01100) + C\text{,}\) \((01010) + C\text{.}\) No hay tabla de decodificación para \(C\) pues este es solo un código detector de un error.

Sea \({\mathbf x} \in C\) una palabra de peso impar y defina una función y defina una función del conjunto de todas las palabras de peso impar al conjunto de las palabras de peso par como \({\mathbf y} \mapsto {\mathbf x} + {\mathbf y}\text{.}\) Muestre que esta función es una biyección.

Para 20 posiciones de información, se requieren al menor 6 bits de verificación para permitir un código de corrección de un error.

Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a \({\mathbb Z}\) por el Teorema 9.7.

Defina \(\phi: {\mathbb C}^* \rightarrow GL_2( {\mathbb R})\) como

Falso.

Defina una función de \({\mathbb Z}_n\) en el grupo de raíces \(n\)-ésimas de la unidad como \(k \mapsto \cis(2k\pi / n)\text{.}\)

Suponga que \({\mathbb Q}\) es cíclico e intente encontrar un generador.

Hay dos grupos no abelianos y tres grupos abelianos que no son isomorfos.

(a) 12; (c) 5.

Haga el dibujo.

Verdadero.

Verdadero.

Sea \(a\) un generador de \(G\text{.}\) Si \(\phi :G \rightarrow H\) es un isomorfismo, muestre que \(\phi(a)\) es un generador de \(H\text{.}\)

Cualquier automorfismo de \({\mathbb Z}_6\) debe enviar al 1 en otro generador de \({\mathbb Z}_6\text{.}\)

Para mostrar que \(\phi\) es 1-1, sean \(g_1 = h_1 k_1\) y \(g_2 = h_2 k_2\) y considere \(\phi(g_1) = \phi(g_2)\text{.}\)

(a)

(c) \(D_4\) no es normal en \(S_4\text{.}\)

Si \(a \in G\) es un generador para \(G\text{,}\) entonces \(aH\) es un generador para \(G/H\text{.}\)

Para cualquier \(g \in G\text{,}\) muestre que la función \(i_g : G \to G\) definida como \(i_g : x \mapsto gxg^{-1}\) es un isomorfismo de \(G\) en sí mismo. Luego considere \(i_g(H)\text{.}\)

Supongamos que \(\langle g \rangle\) es normal en \(G\) y sea \(y\) un elemento arbitrario de \(G\text{.}\) Si \(x \in C(g)\text{,}\) debemos mostrar que \(y x y^{-1}\) también está en \(C(g)\text{.}\) Muestre que \((y x y^{-1}) g = g (y x y^{-1})\text{.}\)

(a) Sean \(g \in G\) y \(h \in G'\text{.}\) Si \(h = aba^{-1}b^{-1}\text{,}\) entonces

También debemos demostrar que si \(h = h_1 \cdots h_n\) with \(h_i = a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}\text{,}\) entonces \(ghg^{-1}\) es un producto de elementos del mismo tipo. Pero, \(ghg^{-1} = g h_1 \cdots h_n g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) \cdots (gh_ng^{-1})\text{.}\)

(a) es un homomorfismo con núcleo \(\{ 1 \}\text{;}\) (c) no es un homomorfismo.

Como \(\phi(m + n) = 7(m+n) = 7m + 7n = \phi(m) + \phi(n)\text{,}\) \(\phi\) es un homomorfismo.

Para cualquier homomorfismo \(\phi : {\mathbb Z}_{24} \rightarrow {\mathbb Z}_{18}\text{,}\) el núcleo de \(\phi\) es un subgrupo de \({\mathbb Z}_{24}\) y la imagen de \(\phi\) es un subgrupo de \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\) Ahora usea el hecho de que la imagen de un generador es un generador.

Sean \(a, b \in G\text{.}\) Entonces \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b)\phi(a)\text{.}\)

Encuentre un contraejemplo.

(a) está en \(SO(2)\text{;}\) (c) no está en \(O(3)\text{.}\)

(a) \(\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}\)

Use la matriz unimodular

Muestre que el núcleo de la función \(\det : O(n) \rightarrow {\mathbb R}^*\) es \(SO(n)\text{.}\)

True.

\(p6m\)

Hay tres grupos posibles de orden 40.

(a) \(\{ 0 \} \subset \langle 6 \rangle \subset \langle 3 \rangle \subset {\mathbb Z}_{12}\text{;}\) (e) \(\{ (1) \} \times \{ 0 \} \subset \{ (1), (123), (132) \} \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \langle 2 \rangle\subset S_3 \times {\mathbb Z}_4\text{.}\)

Use el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitamente Generados.

Si \(N\) y \(G/N\) son solubles, entonces tienen series solubles

Use el hecho de que \(D_n\) tiene un subgrupo cíclico de índice 2.

\(G/G'\) es abeliano.

Ejemplo 14.1: \(0\text{,}\) \({\mathbb R}^2 \setminus \{ 0 \}\text{.}\) Ejemplo 14.2: \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\text{.}\)

(a) \(X_{(1)} = \{1, 2, 3 \}\text{,}\) \(X_{(12)} = \{3 \}\text{,}\) \(X_{(13)} = \{ 2 \}\text{,}\) \(X_{(23)} = \{1 \}\text{,}\) \(X_{(123)} = X_{(132)} = \emptyset\text{.}\) \(G_1 = \{ (1), (23) \}\text{,}\) \(G_2 = \{(1), (13) \}\text{,}\) \(G_3 = \{ (1), (12)\}\text{.}\)

(a) \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 = \{ 1, 2, 3\}\text{.}\)

Las clases de conjugación para \(S_4\) son

La ecuación de clase es \(1 + 3 + 6 + 6 + 8 = 24\text{.}\)

\((3^4 + 3^1 + 3^2 + 3^1 + 3^2 + 3^2 + 3^3 + 3^3)/8 = 21\text{.}\)

El grupo de movimientos rígidos del cubo puede ser descrito por las permutaciones permisibles de sus seis caras y es isomorfo a \(S_4\text{.}\) Están la identidad, 6 permutaciones con la estructura \((abcd)\) que corresponden a cuartos de vuelta, 3 permutaciones con la estructura \((ab)(cd)\) que corresponden a medias vueltas, 6 permutaciones con la estructura \((ab)(cd)(ef)\) que corresponden a rotar el cubo en torno a los centros de aristas opuestas, y 8 permutaciones con la estructura \((abc)(def)\) que corresponden a rotar el cubo en torno a vértices opuestos.

\((1 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1)/12 = 13\text{.}\)

\((1 \cdot 2^8 + 3 \cdot 2^6 + 2 \cdot 2^4)/6 = 80\text{.}\)

Use el hecho de que \(x \in g C(a) g^{-1}\) si y solo si \(g^{-1}x g \in C(a)\text{.}\)

Si \(|G| = 18 = 2 \cdot 3^2\text{,}\) entonces el orden de on 2-subgrupo de Sylow es 2, y el orden de on 3-subgrupo de Sylow es 9.

Los cuatro 3-subgrupos de Sylow de \(S_4\) son \(P_1 = \{ (1), (123), (132) \}\text{,}\) \(P_2 = \{ (1), (124), (142) \}\text{,}\) \(P_3 = \{ (1), (134), (143) \}\text{,}\) \(P_4 = \{ (1), (234), (243) \}\text{.}\)

Como \(|G| = 96 = 2^5 \cdot 3\text{,}\) \(G\) puede tener uno o tres 2-subgrupos de Sylow por el Terecer Teorema de Sylow. Si solo tiene uno, estamos listos. Si hay tres 2-subgrupos de Sylow, sean \(H\) y \(K\) dos de ellos. Por lo tanto, \(|H \cap K| \geq 16\text{;}\) de lo contrario, \(HK\) tendría \((32 \cdot 32)/8 = 128\) elementos, lo que es imposible. Luego, \(H \cap K\) es normal tanto en \(H\) como en \(K\) pues tiene índice 2 en ambos grupos.

Muestre que \(G\) tiene un \(p\)-subgrupo de Sylow normal de orden \(p^2\) y un \(q\)-subgrupo de Sylow normal de orden \(q^2\text{.}\)

Falso.

Si \(G\) es abeliano, entonces \(G\) es cíclico, pues \(|G| = 3 \cdot 5 \cdot 17\text{.}\) Ahora vea el Ejemplo 15.14.

Defina una función entre las clases laterales derechas de \(N(H)\) en \(G\) y los conjugados de \(H\) en \(G\) como \(N(H) g \mapsto g^{-1} H g\text{.}\) Demuestre que esta función es una biyección.

Sean \(a G', b G' \in G/G'\text{.}\) Entonces \((a G')( b G') = ab G' = ab(b^{-1}a^{-1}ba) G' = (abb^{-1}a^{-1})ba G' = ba G'\text{.}\)

(a) \(7 {\mathbb Z}\) es un anillo pero no es un cuerpo; (c) \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) es un cuerpo; (f) \(R\) no es un anillo.

(a) \(\{1, 3, 7, 9 \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\text{;}\) (e)

(a) \(\{0 \}\text{,}\) \(\{0, 9 \}\text{,}\) \(\{0, 6, 12 \}\text{,}\) \(\{0, 3, 6, 9, 12, 15 \}\text{,}\) \(\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \}\text{;}\) (c) no hay ideales no triviales.

Suponga que hay un isomorfismo \(\phi: {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb R}\) con \(\phi(i) = a\text{.}\)

Falso. Suponga que hay un isomorfismo \(\phi: {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) \rightarrow {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, )\) tal que \(\phi(\sqrt{2}\, ) = a\text{.}\)

(a) \(x \equiv 17 \pmod{55}\text{;}\) (c) \(x \equiv 214 \pmod{2772}\text{.}\)

Si \(I \neq \{ 0 \}\text{,}\) muestre que \(1 \in I\text{.}\)

(a) \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b) \phi(a)\text{.}\)

Sea \(a \in R\) con \(a \neq 0\text{.}\) Entonces el ideal principal generado por \(a\) es \(R\text{.}\) Por lo tanto, existe \(b \in R\) tal que \(ab =1\text{.}\)

Calcule \((a+b)^2\) y \((-ab)^2\text{.}\)

Sean \(a/b, c/d \in {\mathbb Z}_{(p)}\text{.}\) Entonces \(a/b + c/d = (ad + bc)/bd\) y \((a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)\) están ambos en \({\mathbb Z}_{(p)}\text{,}\) pues \(\gcd(bd,p) = 1\text{.}\)

Supongamos que \(x^2 = x\) y \(x \neq 0\text{.}\) Como \(R\) es un dominio integral, \(x = 1\text{.}\) Para encontrar un idempotente no trivial, examine \({\mathbb M}_2({\mathbb R})\text{.}\)

(a) \(9x^2 + 2x + 5\text{;}\) (b) \(8x^4 + 7x^3 + 2x^2 + 7x\text{.}\)

(a) \(5 x^3 + 6 x^2 - 3 x + 4 = (5 x^2 + 2x + 1)(x -2) + 6\text{;}\) (c) \(4x^5 - x^3 + x^2 + 4 = (4x^2 + 4)(x^3 + 3) + 4x^2 + 2\text{.}\)

(a) No tiene ceros en \({\mathbb Z}_{12}\text{;}\) (c) 3, 4.

Considere \((2x + 1)\text{.}\)

(a) Reducible; (c) irreducible.

Una factorización es \(x^2 + x + 8 = (x + 2)(x + 9)\text{.}\)

Los enteros \(\mathbb Z\) no forman un cuerpo.

Falso.

Sea \(\phi : R \rightarrow S\) un isomorfismo. Defina \(\overline{\phi} : R[x] \rightarrow S[x]\) como \(\overline{\phi}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = \phi(a_0) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n\text{.}\)

El polinomio \(\Phi_n(x+1)\) es irreducible sobre \({\mathbb Q}\) si y solo si \(\Phi_n(x)\) es irreducible sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)

Ecuentre un ideal propio no trivial en \(F[x]\text{.}\)

Note que \(z^{-1} = 1/(a + b\sqrt{3}\, i) = (a -b \sqrt{3}\, i)/(a^2 + 3b^2)\) está en \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i]\) si y solo si \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{.}\) Las únicas soluciones enteras de la ecuación son \(a = \pm 1, b = 0\text{.}\)

(a) \(5 = -i(1 + 2i)(2 + i)\text{;}\) (c) \(6 + 8i = -i(1 + i)^2(2 + i)^2\text{.}\)

Verdadero.

Sean \(z = a + bi\) y \(w = c + di \neq 0\) en \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Demuestre que \(z/w \in {\mathbb Q}(i)\text{.}\)

Sea \(a = ub\) con \(u\) una unidad. Entonces \(\nu(b) \leq \nu(ub) \leq \nu(a)\text{.}\) Similarmente, \(\nu(a) \leq \nu(b)\text{.}\)

Muestre que 21 se puede factorizar de dos formas diferentes.

Falso.

(a) \((a \vee b \vee a') \wedge a\)

(c) \(a \vee (a \wedge b)\)

No son equivalentes.

(a) \(a' \wedge [(a \wedge b') \vee b] = a \wedge (a \vee b) \text{.}\)

Sean \(I, J\) ideales en \(R\text{.}\) Debemos mostrar que \(I + J = \{ r + s : r \in I \text{ and } s \in J \}\) es el menor ideal en \(R\) que contiene tanto a \(I\) como \(J\text{.}\) Si \(r_1, r_2 \in I\) y \(s_1, s_2 \in J\text{,}\) entonces \((r_1 + s_1) + (r_2 + s_2) = (r_1 + r_2) +(s_1 + s_2)\) is in \(I + J\text{.}\) Para \(a \in R\text{,}\) \(a(r_1 + s_1) = ar_1 + as_1 \in I + J\text{;}\) luego, \(I + J\) es un ideal en \(R\text{.}\)

(a) No.

\(( \Rightarrow)\text{.}\) \(a = b \Rightarrow (a \wedge b') \vee (a' \wedge b) = (a \wedge a') \vee (a' \wedge a) = O \vee O = O\text{.}\) \(( \Leftarrow)\text{.}\) \(( a \wedge b') \vee (a' \wedge b) = O \Rightarrow a \vee b = (a \vee a) \vee b = a \vee (a \vee b) = a \vee [I \wedge (a \vee b)] = a \vee [(a \vee a') \wedge (a \vee b)] = [a \vee (a \wedge b')] \vee [a \vee (a' \wedge b)] = a \vee [(a \wedge b') \vee (a' \wedge b)] = a \vee 0 = a\text{.}\) Un argumento simétrico muestra que \(a \vee b = b\text{.}\)

\({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) tiene base \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\) sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)

El conjunto \(\{ 1, x, x^2, \ldots, x^{n-1} \}\) es una base para \(P_n\text{.}\)

(a) Subespacio de dimensión 2 con base \(\{(1, 0, -3), (0, 1, 2) \}\text{;}\) (d) no es un subespacio

Como \(0 = \alpha 0 = \alpha(-v + v) = \alpha(-v) + \alpha v\text{,}\) se concluye que \(- \alpha v = \alpha(-v)\text{.}\)

Sea \(v_0 = 0, v_1, \ldots, v_n \in V\) y \(\alpha_0 \neq 0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\text{.}\) Entonces \(\alpha_0 v_0 + \cdots + \alpha_n v_n = 0\text{.}\)

(a) Sean \(u, v \in \ker(T)\) y \(\alpha \in F\text{.}\) Entonces

Luego, \(u + v, \alpha v \in \ker(T)\text{,}\) y \(\ker(T)\) es un subespacio de \(V\text{.}\)

(c) \(T(u) = T(v)\) es equivalente a \(T(u-v) = T(u) - T(v) = 0\text{,}\) lo que se cumple si y solo si \(u-v = 0\text{,}\) es decir \(u = v\text{.}\)

(a) Sean \(u, u' \in U\) y sean \(v, v' \in V\text{.}\) Entonces

(a) \(x^4 - (2/3) x^2 - 62/9\text{;}\) (c) \(x^4 - 2 x^2 + 25\text{.}\)

(a) \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, i, \sqrt{2}, \sqrt{2}\, i \}\text{;}\) (e) \(\{1, 2^{1/6}, 2^{1/3}, 2^{1/2}, 2^{2/3}, 2^{5/6} \}\text{.}\)

(a) \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\text{.}\)

Use el hecho de que los elementos de \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle x^3 + x + 1 \rangle\) son 0, 1, \(\alpha\text{,}\) \(1 + \alpha\text{,}\) \(\alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha^2\text{,}\) \(\alpha + \alpha^2\text{,}\) \(1 + \alpha + \alpha^2\) y el hecho de que \(\alpha^3 + \alpha + 1 = 0\text{.}\)

False.

Supongamos que \(E\) es algebraico sobre \(F\) y \(K\) es algebraico sobre \(E\text{.}\) Sea \(\alpha \in K\text{.}\) Basta con demostrar que \(\alpha\) es algebraico sobre alguna extensión finita de \(F\text{.}\) Como \(\alpha\) es algebraico sobre \(E\text{,}\) debe ser cero de algún polinomio \(p(x) = \beta_0 + \beta_1 x + \cdots + \beta_n x^n\) en \(E[x]\text{.}\) Por lo tanto \(\alpha\) es algebraico sobre \(F(\beta_0, \ldots, \beta_n)\text{.}\)

Como \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{21}\, \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\text{,}\) \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) \supset {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\) Como \([{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\text{,}\) \([{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, ) : {\mathbb Q}] = 2\) o 4. Como el grado del polinomio minimal de \(\sqrt{3} +\sqrt{7}\) es 4, \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} +\sqrt{7}\, )\text{.}\)

Sea \(\beta \in F(\alpha)\) no en \(F\text{.}\) Entonces \(\beta = p(\alpha)/q(\alpha)\text{,}\) donde \(p\) y \(q\) son polinomios en \(\alpha\) con \(q(\alpha) \neq 0\) y coeficientes en \(F\text{.}\) Si \(\beta\) es algebraico sobre \(F\text{,}\) entonces hay un polinomio \(f(x) \in F[x]\) tal que \(f(\beta) = 0\text{.}\) Sea \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{.}\) Entonces

Ahora multiplique ambos lados por \(q(\alpha)^n\) para demostrar que hay un polinomio en \(F[x]\) que se anula en \(\alpha\text{.}\)

Vea el comentario que sigue al Teorema 21.13.

Asegúrese de tener una extensión de cuerpos.

Hay ocho elementos en \({\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}\) Exhiba dos ceros más de \(x^3 + x^2 + 1\) además de \(\alpha\) entre estos ocho elementos.

Encuentre un polinomio irreducible \(p(x)\) en \({\mathbb Z}_3[x]\) de grado 3 y muestre que \({\mathbb Z}_3[x]/ \langle p(x) \rangle\) tiene 27 elementos.

(a) \(x^5 -1 = (x+1)(x^4+x^3 + x^2 + x+ 1)\text{;}\) (c) \(x^9 -1 = (x+1)( x^2 + x+ 1)(x^6+x^3+1)\text{.}\)

Verdadero.

(a) Use el hechode que \(x^7 -1 = (x+1)( x^3 + x+ 1)(x^3+x^2+1)\text{.}\)

Falso.

Si \(p(x) \in F[x]\text{,}\) entonces \(p(x) \in E[x]\text{.}\)

Como \(\alpha\) es algebraico sobreo \(F\) de grado \(n\text{,}\) podemos escribir cualquier elemento \(\beta \in F(\alpha)\) de forma única como \(\beta = a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n-1} \alpha^{n-1}\) with \(a_i \in F\text{.}\) Existen \(q^n\) posibles \(n\)-tuplas \((a_0, a_1, \ldots, a_{n-1})\text{.}\)

Factorice \(x^{p-1} - 1\) sobre \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

(a) \({\mathbb Z}_2\text{;}\) (c) \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)

(a) Separable sobre \(\mathbb Q\) pues \(x^3 + 2 x^2 - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2)\text{;}\) (c) no es separable sobre \(\mathbb Z_3\) pues \(x^4 + x^2 + 1 = (x + 1)^2 (x + 2)^2 \text{.}\)

Si

entonces \(G(\gf(729)/ \gf(9)) \cong {\mathbb Z}_3\text{.}\) Un generador para \(G(\gf(729)/ \gf(9))\) es \(\sigma\text{,}\) deonde \(\sigma_{3^6}( \alpha) = \alpha^{3^6} = \alpha^{729}\) para \(\alpha \in \gf(729)\text{.}\)

(a) \(S_5\text{;}\) (c) \(S_3\text{;}\) (g) Vea el Ejemplo 23.10.

(a) \({\mathbb Q}(i)\)

Sea \(E\) el cuerpo de descomposición de un polinomio cúbico en \(F[x]\text{.}\) Muestre que \([E:F]\) es menor o igual a 6 y es divisible por 3. Como \(G(E/F)\) es un subgrupo de \(S_3\) cuyo orden es divisible por 3, concluya que este grupo debe ser isomorfo a \({\mathbb Z}_3\) o a \(S_3\text{.}\)

\(G\) es un subgrupo de \(S_n\text{.}\)

Verdadero.

1. Claramente \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) son distintas pues \(\omega \neq 1\) ni 0. Para mostrar que \(\omega^i\) es un cero de \(\Phi_p\text{,}\) calcule \(\Phi_p( \omega^i)\text{.}\)

2. Los conjugados de \(\omega\) son \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\text{.}\) Defina una función \(\phi_i: {\mathbb Q}(\omega) \rightarrow {\mathbb Q}(\omega^i)\) como

   \begin{equation*} \phi_i(a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p - 2} \omega^{p - 2}) = a_0 + a_1 \omega^i + \cdots + c_{p - 2} (\omega^i)^{p - 2}, \end{equation*}

   donde \(a_i \in {\mathbb Q}\text{.}\) Demuestre que \(\phi_i\) es un isomorfismo de cuerpos. Muestre que \(\phi_2\) genera \(G({\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q})\text{.}\)

3. Muestre que \(\{ \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1} \}\) es una base para \({\mathbb Q}( \omega )\) sobre \({\mathbb Q}\text{,}\) y considere cuáles combinaciones lineales de \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) quedan fijas por todos los elementos de \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q})\text{.}\)