Muestre que cada uno de los siguientes números es algebraico sobre \({\mathbb Q}\) encontrando su polinomio minimal sobre \({\mathbb Q}\text{.}\)
\(\sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }\)
\(\sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}\)
\(\sqrt{3} + \sqrt{2}\, i\)
\(\cos \theta + i \sin \theta\) for \(\theta = 2 \pi /n\) with \(n \in {\mathbb N}\)
\(\sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }\)
Encuentre una base para cada una de las siguientes extensiones de cuerpos. ¿Cuál es el grado de esta extensión?
\({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )\) sobre \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\)
\({\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )\) sobre \({\mathbb Q}\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )\) sobre \({\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )\)
\({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )\) sobre \({\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\)
Encuentre el cuerpo de descomposición de cada uno de los siguientes polinomios.
\(x^4 - 10 x^2 + 21\) sobre \({\mathbb Q}\)
\(x^4 + 1\) sobre \({\mathbb Q}\)
\(x^3 + 2x + 2\) sobre \({\mathbb Z}_3\)
\(x^3 - 3\) sobre \({\mathbb Q}\)
Considere el cuerpo de extensión \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sobre \(\mathbb Q\text{.}\)
Encuentre una base para el cuerpo de extensión \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sobre \(\mathbb Q\text{.}\) Concluya que \([{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}\)
Encuentre todos los subcuerpos \(F\) de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tal que \([F:\mathbb Q] = 2\text{.}\)
Encuentre todos los subcuerpos \(F\) de \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tal que \([F:\mathbb Q] = 4\text{.}\)
Demuestre que \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) es un cuerpo con 8 elementos. Construya una tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo del cuerpo.
Demuestre que el polígono regular de 9 lados no es constructible con regla y compas, pero el de 20 lados sí es constructible.
Demuestre que el coseno de un grado (\(\cos 1^\circ\)) es algebraico sobre \({\mathbb Q}\) pero no es constructible.
¿Se puede construir un cubo con tres veces el volumen de un cubo dado?
Demuestre que \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )\) es una extensión algebraica de \({\mathbb Q}\) pero no es una extensión finita.
Demuestre o refute: \(\pi\) es algebraico sobre \({\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}\)
Sea \(p(x)\) un polinomio no constante de grado \(n\) en \(F[x]\text{.}\) Demuestre que existe un cuerpo de descomposición \(E\) para \(p(x)\) tal que \([E : F] \leq n!\text{.}\)
Demuestre o refute: \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\)
Demuestre que los cuerpos \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )\) and \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)\) son isomorfos pero no iguales.
Sea \(K\) una extensión algebraica de \(E\text{,}\) y \(E\) una extensión algebraica de \(F\text{.}\) Demuestre que \(K\) es algebraico sobre \(F\text{.}\) [Cuidado: No suponga que las extensiones son finitas.]
Demuestre o refute: \({\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle\) es un cuerpo.
Sea \(F\) un cuerpo de característica \(p\text{.}\) Demuestre que \(p(x) = x^p - a\) es irreducible o se descompone completamente en \(F\text{.}\)
Sea \(E\) la clausura algebraica de un cuerpo \(F\text{.}\) Demuestre que todo polinomio \(p(x)\) en \(F[x]\) se descompone completamente en \(E\text{.}\)
Si todo polinomio irreducible \(p(x)\) en \(F[x]\) es lineal, demuestre que \(F\) es un cuerpo algebraicamente cerrado.
Demuestre que si \(\alpha\) y \(\beta\) son números constructibles tales que \(\beta \neq 0\text{,}\) entonces también lo es \(\alpha / \beta\text{.}\)
Demuestre que el conjunto de todos los elementos en \({\mathbb R}\) que son algebraicos sobre \({\mathbb Q}\) forma una extensión de cuerpos de \({\mathbb Q}\) que no es finita.
Sea \(E\) una extensión algebraica de un cuerpo \(F\text{,}\) y sea \(\sigma\) un automorfismo de \(E\) que fija \(F\text{.}\) Sea \(\alpha \in E\text{.}\) Demuestre que \(\sigma\) induce una permutación del conjunto de ceros del polinomio minimal de \(\alpha\) que están en \(E\text{.}\)
Muestre que \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}\) Extienda su demostración para demostrar que \({\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}\) donde \(\gcd(a, b) = 1\text{.}\)
Sea \(E\) una extensión finita de un cuerpo \(F\text{.}\) Si \([E:F] = 2\text{,}\) demuestre que \(E\) es un cuerpo de descomposición sobre \(F\) para algún polinomio \(f(x) \in F[x]\text{.}\)
Demuestre o refute: Dado un polinomio \(p(x)\) en \({\mathbb Z}_6[x]\text{,}\) es posible construir un anillo \(R\) tal que \(p(x)\) tiene una raíz en \(R\text{.}\)
Sea \(E\) una extensión de \(F\) y \(\alpha \in E\text{.}\) Determine \([F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}\)
Sean \(\alpha, \beta\) trascendente sobre \({\mathbb Q}\text{.}\) Pruebe que al menos uno de \(\alpha \beta\) y \(\alpha + \beta\) también es trascendente.
Sea \(E\) una extensión de cuerpos de \(F\) y sea \(\alpha \in E\) trascendente sobre \(F\text{.}\) Demuestre que cada elemento en \(F(\alpha)\) que no está en \(F\) también es trascendente sobre \(F\text{.}\)
Sea \(\alpha\) una raíz de un polinomio irreducible \(p(x) \in F[x]\text{,}\) con \(\deg p = n\text{.}\) Demuestre que \([F(\alpha) : F] = n\text{.}\)
