Sección17.5Ejercicios Adicionales: Resolviendo las Ecuaciones Cúbica y Cuártica
¶1
Resuelva la ecuación cuadrática general
\begin{equation*}
ax^2 + bx + c = 0
\end{equation*}
obteniendo
\begin{equation*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
\end{equation*}
El discriminante de la ecuación cuadrática \(\Delta = b^2 - 4ac\) determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Si \(\Delta \gt 0\text{,}\) la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Si \(\Delta = 0\text{,}\) la ecuación tiene una única solución real repetida. Si \(\Delta \lt 0\text{,}\) existen dos soluciones imaginarias diferentes.
2
Muestre que cualquier ecuación cúbica de la forma
\begin{equation*}
x^3 + bx^2 + cx + d = 0
\end{equation*}
puede ser reducida a la forma \(y^3 + py + q = 0\) haciendo la sustitución \(x = y - b/3\text{.}\)
3
Demuestre que las raíces cúbicas de 1 están dadas por
\begin{align*}
\omega & = \frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}\\
\omega^2 & = \frac{-1- i \sqrt{3}}{2}\\
\omega^3 & = 1.
\end{align*}
4
Haga la sustitución
\begin{equation*}
y = z - \frac{p}{3 z}
\end{equation*}
para \(y\) en la ecuación \(y^3 + py + q = 0\) ay obtenga dos soluciones \(A\) y \(B\) para \(z^3\text{.}\)
5
Muestre que el producto de las soluciones obtenidas en (4) es \(-p^3/27\text{,}\) deduciendo que \(\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}\)
6
Demuestre que las posibles soluciones para \(z\) en (4) están dadas por
\begin{equation*}
\sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B}
\end{equation*}
y use este resultado para mostrar que las tres posibles soluciones para \(y\) son
\begin{equation*}
\omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} },
\end{equation*}
donde \(i = 0, 1, 2\text{.}\)
7
El discriminante de la ecuación cúbica es
\begin{equation*}
\Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}.
\end{equation*}
Muestre que \(y^3 + py + q=0\)
tiene tres raíces reales, de las que al menos dos son iguales, si \(\Delta = 0\text{.}\)
tiene una raíz real y dos raíces complejas no reales conjugadas si \(\Delta \gt 0\text{.}\)
tiene tres raíces reales distintas si \(\Delta \lt 0\text{.}\)
8
Resueva las siguientes ecuaciones cúbicas.
\(x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0\)
\(x^3 - 3x +5 = 0\)
\(x^3 - 3x +2 = 0\)
\(x^3 + x + 3 = 0\)
9
Muestre que la ecuación cuártica general
\begin{equation*}
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\end{equation*}
se reduce a
\begin{equation*}
y^4 + py^2 + qy + r = 0
\end{equation*}
busando la sustitución \(x = y - a/4\text{.}\)
10
Muestre que
\begin{equation*}
\left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right).
\end{equation*}
11
Muestre que el lado derecho del Ejercicio 17.5.10 puede ser puesto en la forma \((my + k)^2\) si y solo si
\begin{equation*}
q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0.
\end{equation*}
12
Del Ejercicio 17.5.11 obtenga la ecuación cúbica resolvente
\begin{equation*}
z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0.
\end{equation*}
Resolviendo la resolvente cúbica, ponga la ecuación encontrada en el Ejercicio 17.5.10 en la forma
\begin{equation*}
\left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2
\end{equation*}
para obtener la solución de la ecuación cuártica.
13
Use este método para resolver las siguientes ecuaciones cuárticas.
\(x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0\)
\(x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0\)
\(x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0\)
\(x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0\)
