Un conjunto no vacío \(R\) es un anillo si tiene dos operaciones binarias, adición y multiplicación, que satisfacen las siguientes condiciones.
\(a + b = b + a\) for \(a, b \in R\text{.}\)
\((a + b) + c = a + ( b + c)\) for \(a, b, c \in R\text{.}\)
There is an element \(0\) in \(R\) such that \(a + 0 = a\) for all \(a \in R\text{.}\)
For every element \(a \in R\text{,}\) there exists an element \(-a\) in \(R\) such that \(a + (-a) = 0\text{.}\)
\((ab) c = a ( b c)\) for \(a, b, c \in R\text{.}\)
For \(a, b, c \in R\text{,}\)
\begin{align*} a( b + c)&= ab +ac\\ (a + b)c & = ac + bc. \end{align*}Esta última consición, el axioma de la distributividad, relaciona las operaciones binarias de adición y multiplicación. Note que los primeros cuatro axiomas simplemente requieren que un anillo sea un grupo abeliano con la operación de adición, de manera que podríamos haber definido un anillo como un grupo abeliano \((R, +)\) junto con una operación secundariaque satisface los axiomas quinto y sexto dados arriba.
Si existe un elemento \(1 \in R\) tal que \(1 \neq 0\) y \(1a = a1 = a\) para cada elemento \(a \in R\text{,}\) decimos que tal anillo \(R\) es un anillo con unidad o identidad. Un anillo \(R\) para el cual \(ab = ba\) para todo \(a, b\) en \(R\) se llama anillo conmutativo. un anillo conmutativo \(R\) con identidad se llama dominio integral si, para \(a, b \in R\) tales que \(ab = 0\text{,}\) se cumple \(a = 0\) o \(b = 0\text{.}\) Un anillo de división es un anillo \(R\text{,}\) con identidad, en el que todo elemento distinto de cero en \(R\) es una unidad; es decir, para cada \(a \in R\) con \(a \neq 0\text{,}\) existe un único elemento \(a^{-1}\) tal que \(a^{-1} a = a a^{-1} = 1\text{.}\) Un anillo de división conmutativo se llama cuerpo. La relación entre anillos, dominios integrales, anillos de división y cuerpos se muestra en la Figura 16.1.
Como mencionamos antes, los enteros forman un anillo. De hecho, \({\mathbb Z}\) es un dominio integral. De hecho si \(a b = 0\) para dos enteros \(a\) y \(b\text{,}\) ya sea \(a=0\) o \(b=0\text{.}\) Sin embargo, \({\mathbb Z}\) no e sun cuerpo. No hay un entero que sea el inverso multiplicativo de 2, pues \(1/2\) no es un entero. Los únicos enteros con inverso multiplicativo son 1 y \(-1\text{.}\)
Bajo las operaciones usuales de adición y multiplicación, todos los sistemas de números familiares son anillos: los racionales, \({\mathbb Q}\text{;}\) los números reales, \({\mathbb R}\text{;}\) y los números complejos, \({\mathbb C}\text{.}\) Cada uno de estos anillos es un cuerpo.
Podemos definir el producto de dos elementos \(a\) y \(b\) en \({\mathbb Z}_n\) como \(ab \pmod{n}\text{.}\) Por ejemplo, en \({\mathbb Z}_{12}\text{,}\) \(5 \cdot 7 \equiv 11 \pmod{12}\text{.}\) Este producto convierte el grupo abeliano \({\mathbb Z}_n\) en un anillo. De hecho \({\mathbb Z}_n\) es un anillo conmutativo; sin embargo, puede que no se un dominio integral. Si consideramos \(3 \cdot 4 \equiv 0 \pmod{12}\) en \({\mathbb Z}_{12}\text{,}\) es fácil ver que el producto de dos elementos distintos de cero en el anillo puede ser igual a cero.
Un elemento distinto de cero \(a\) en un anillo \(R\) se dice divisor de cero si existe un elemento \(b\) distinto de cero en \(R\) tal que \(ab = 0\text{.}\) En el ejemplo anterior, 3 y 4 son divisores de cero en \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\)
El conjunto de funciones reales continuos definidas en un intervalo \([a,b]\) forman un anillo conmutativo. La suma y el producto de dos funciones se definen sumando y multiplicando respectvamente los valores de las funciones. Si \(f(x) = x^2\) y \(g(x) = \cos x\text{,}\) entonces \((f+g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + \cos x\) y \((fg)(x) = f(x) g(x) = x^2 \cos x\text{.}\)
Las matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb R}\) forman un anillo bajo las operaciones usuales de suma y multiplicacón de matrices. Este anillo es no conmutativo, pues en general \(AB \neq BA\text{.}\) Notemos además, que podemos tener \(AB = 0\) sin que \(A\) ni \(B\) sea cero.
Para un ejemplo de un anillo de división no conmutativo, sea
\begin{equation*} 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad {\mathbf i} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad {\mathbf j} = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad {\mathbf k} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \end{equation*}con \(i^2 = -1\text{.}\) Estos elementos satisfacen las siguientes relaciones:
\begin{align*} {\mathbf i}^2 = {\mathbf j}^2 & = {\mathbf k}^2 = -1\\ {\mathbf i} {\mathbf j} & = {\mathbf k} \\ {\mathbf j} {\mathbf k} & = {\mathbf i} \\ {\mathbf k} {\mathbf i} & = {\mathbf j} \\ {\mathbf j} {\mathbf i} & = - {\mathbf k} \\ {\mathbf k} {\mathbf j} & = - {\mathbf i} \\ {\mathbf i} {\mathbf k} & = - {\mathbf j}. \end{align*}Sea \({\mathbb H}\) el conjunto de todos los elementos de la forma \(a + b {\mathbf i} + c {\mathbf j} +d {\mathbf k}\text{,}\) donde \(a, b , c, d\) son números reales. Equivalentemente, \({\mathbb H}\) se puede considerar como el conjunto de todas las matrices de \(2 \times 2\) de la forma
\begin{equation*} \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & \overline{\alpha } \end{pmatrix}, \end{equation*}donde \(\alpha = a + di\) y \(\beta = b+ci\) son números complejos. Podemos definir la suma y la multiplicación en \({\mathbb H}\) en términos de la multiplicación usual de matrices o en términos de sus generadores 1, \({\mathbf i}\text{,}\) \({\mathbf j}\text{,}\) y \({\mathbf k}\text{:}\)
\begin{gather*} (a_1 + b_1 {\mathbf i} + c_1 {\mathbf j} +d_1 {\mathbf k} ) + ( a_2 + b_2 {\mathbf i} + c_2 {\mathbf j} +d_2 {\mathbf k} )\\ = (a_1 + a_2) + ( b_1 + b_2) {\mathbf i} + ( c_1 + c_2) \mathbf j + (d_1 + d_2) \mathbf k \end{gather*}y
\begin{equation*} (a_1 + b_1 {\mathbf i} + c_1 {\mathbf j} +d_1 {\mathbf k} ) ( a_2 + b_2 {\mathbf i} + c_2 {\mathbf j} +d_2 {\mathbf k} ) = \alpha + \beta {\mathbf i} + \gamma {\mathbf j} + \delta {\mathbf k}, \end{equation*}donde
\begin{align*} \alpha & = a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 -d_1 d_2\\ \beta & = a_1 b_2 + a_2 b_1 + c_1 d_2 - d_1 c_2\\ \gamma & = a_1 c_2 - b_1 d_2 + c_1 a_2 - d_1 b_2\\ \delta & = a_1 d_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2 - d_1 a_2. \end{align*}Aunque la multiplicación se ve complicada, en realidad es un un cálculo directo si recordamos que sumamos y multiplicamos elementos en \({\mathbb H}\) como polinomios teniendo en consideración las relaciones entre los generadores \({\mathbf i}\text{,}\) \({\mathbf j}\text{,}\) y \({\mathbf k}\text{.}\) El anillo \({\mathbb H}\) se llama anillo de cuaterniones.
Para mostrar que los cuaterniones forman un anillo de división, debemos ser capaces de encontrar un inverso para cada elemento distinto de cero. Note que
\begin{equation*} ( a + b {\mathbf i} + c {\mathbf j} +d {\mathbf k} )( a - b {\mathbf i} - c {\mathbf j} -d {\mathbf k} ) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2. \end{equation*}Este elemento es cero solo si \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\text{,}\) y \(d\) son todos cero. Así si \(a + b {\mathbf i} + c {\mathbf j} +d {\mathbf k} \neq 0\text{,}\)
\begin{equation*} ( a + b {\mathbf i} + c {\mathbf j} +d {\mathbf k} )\left( \frac{a - b {\mathbf i} - c {\mathbf j} - d {\mathbf k} }{ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 } \right) = 1. \end{equation*}Sea \(R\) un anillo con \(a, b \in R\text{.}\) Entonces
\(a0 = 0a = 0\text{;}\)
\(a(-b) = (-a)b = -ab\text{;}\)
\((-a)(-b) =ab\text{.}\)
Para demostra (1), notemos que
\begin{equation*} a0 = a(0+0)= a0+ a0; \end{equation*}luego, \(a0=0\text{.}\) Similarmente, \(0a = 0\text{.}\) Para (2), tenemos \(ab + a(-b) = a(b-b) = a0 = 0\text{;}\) por lo tanto, \(-ab = a(-b)\text{.}\) Similarmente, \(-ab = (-a)b\text{.}\) La parte (3) sigue directamente de (2) pues \((-a)(-b) = -(a(- b)) = -(-ab) = ab\text{.}\)
Así como tenemos subgrupos de grupos, tenemos una clase análoga de subestructuras para anillos. Un subanillo \(S\) de un anillo \(R\) es nu subconjunto \(S\) de \(R\) tal que \(S\) también es un anillo con las operaciones heredadas de \(R\text{.}\)
El anillo \(n {\mathbb Z}\) es un subanillo de \({\mathbb Z}\text{.}\) Note que si bien el anillo original pueda tener una identidad, no pedimos que su subanillo tenga una identidad. Tenemos la siguiente cadena de subanillos:
\begin{equation*} {\mathbb Z} \subset {\mathbb Q} \subset {\mathbb R} \subset {\mathbb C}. \end{equation*}La siguiente proposición nos entrega criterios sencillos para determinar si un subconjunto de un anillo es o no es un subanillo. (Dejaremos la demostración de esta proposición como ejercicio.)
Sea \(R\) un anillo y \(S\) un subconjunto de \(R\text{.}\) Entonces \(S\) es un subanillo de \(R\) si y solo si se cumplen las siguientes condiciones.
\(S \neq \emptyset\text{.}\)
\(rs \in S\) para todo \(r, s \in S\text{.}\)
\(r-s \in S\) para todo \(r, s \in S\text{.}\)
Sea \(R ={\mathbb M}_2( {\mathbb R} )\) el anillo de las matrices de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb R}\text{.}\) Si \(T\) es el conjunto de las matrices triangulares superiores en \(R\text{;}\) i.e.,
\begin{equation*} T = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} : a, b, c \in {\mathbb R} \right\}, \end{equation*}entonces \(T\) es un subanillo de \(R\text{.}\) Si
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{pmatrix} a' & b' \\ 0 & c' \end{pmatrix} \end{equation*}están en \(T\text{,}\) entonces claramente \(A-B\) también está en \(T\text{.}\) Además,
\begin{equation*} AB = \begin{pmatrix} a a' & ab' + bc' \\ 0 & cc' \end{pmatrix} \end{equation*}está en \(T\text{.}\)
