Una serie subnormal de un grupo \(G\) es una sucesión finita de subgrupos
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}, \end{equation*}donde \(H_i\) es un subgrupo normal de \(H_{i+1}\text{.}\) Si cada subgrupo \(H_i\) es normal en \(G\text{,}\) entonces la serie se llama serie normal. El largo de una serie subnormal o normal es el número de inclusiones propias.
Toda serie de subgrupos de un grupo abeliano es una serie normal. Considere las siguientes series de grupos:
\begin{gather*} {\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\},\\ {\mathbb Z}_{24} \supset \langle 2 \rangle \supset \langle 6 \rangle \supset \langle 12 \rangle \supset \{0\}. \end{gather*}Una serie subnormal no es necesariamente una serie normal. Considere la sguiente serie subnormal del grupo \(D_4\text{:}\)
\begin{equation*} D_4 \supset \{ (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) \} \supset \{ (1), (12)(34) \} \supset \{ (1) \}. \end{equation*}El subgrupo \(\{ (1), (12)(34) \}\) no es normal en \(D_4\text{;}\) en consecuencia, esta no es una serie normal.
Una serie subnormal (normal) \(\{ K_j \}\) es un refinamiento de una serie subnormal (normal) \(\{ H_i \}\) si \(\{ H_i \} \subset \{ K_j \}\text{.}\) Es decir, cada \(H_i\) es uno de los \(K_j\text{.}\)
Las serie
\begin{equation*} {\mathbb Z} \supset 3{\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 90{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\} \end{equation*}es un refinamiento de la serie
\begin{equation*} {\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\}. \end{equation*}La mejor forma de estudiar una serie subnormal o normal de subgrupos, \(\{ H_i \}\) de \(G\text{,}\) es realmente estudiar los grupos cociente \(H_{i+1}/H_i\text{.}\) Se dice que dos series subnormales (normales) \(\{H_i \}\) y \(\{ K_j \}\) de un grupo \(G\) son isomorfas si existe una correspondencia 1-1 entre las colecciones de grupos cociente \(\{H_{i+1}/H_i \}\) y \(\{ K_{j+1}/ K_j \}\text{.}\)
Las dos series normales
\begin{gather*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 3 \rangle \supset \langle 15 \rangle \supset \{ 0 \}\\ {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 4 \rangle \supset \langle 20 \rangle \supset \{ 0 \} \end{gather*}del grupo \({\mathbb Z}_{60}\) son isomorfas pues
\begin{gather*} {\mathbb Z}_{60} / \langle 3 \rangle \cong \langle 20 \rangle / \{ 0 \} \cong {\mathbb Z}_{3}\\ \langle 3 \rangle / \langle 15 \rangle \cong \langle 4 \rangle / \langle 20 \rangle \cong {\mathbb Z}_{5}\\ \langle 15 \rangle / \{ 0 \} \cong {\mathbb Z}_{60} / \langle 4 \rangle \cong {\mathbb Z}_4. \end{gather*}Una serie subnormal \(\{ H_i \}\) de un grupo \(G\) es una serie de composición si todos los grupos cociente son simples; es decir, ninguno de ellos contiene un subgrupo normal. Una serie normal \(\{ H_i \}\) de \(G\) es una serie principal si todos los cocientes son simples.
El grupo \({\mathbb Z}_{60}\) tiene una serie de composición
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 3 \rangle \supset \langle 15 \rangle \supset \langle 30 \rangle \supset \{ 0 \} \end{equation*}con grupos cociente
\begin{align*} {\mathbb Z}_{60} / \langle 3 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{3}\\ \langle 3 \rangle / \langle 15 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{5}\\ \langle 15 \rangle / \langle 30 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{2}\\ \langle 30 \rangle / \{ 0 \} & \cong {\mathbb Z}_2. \end{align*}Como \({\mathbb Z}_{60}\) es un grupo abeliano, esta serie es automáticamente una serie principal. Notemos que una serie de composición no es necesariamente única. La serie
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 2 \rangle \supset \langle 4 \rangle \supset \langle 20 \rangle \supset \{ 0 \} \end{equation*}también es una serie de composición.
Para \(n \geq 5\text{,}\) la serie
\begin{equation*} S_n \supset A_n \supset \{ (1) \} \end{equation*}es una serie de composición para \(S_n\) pues \(S_n / A_n \cong {\mathbb Z}_2\) y \(A_n\) es simple.
No todo grupo tiene una serie de composición o una serie principal. Supongamos que
\begin{equation*} \{ 0 \} = H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_{n-1} \subset H_n = {\mathbb Z} \end{equation*}es ua serie subnormal de los enteros bajo la suma. Entonces \(H_1\) debe ser de la forma \(k {\mathbb Z}\) para algún \(k \in {\mathbb N}\text{.}\) En ese caso \(H_1 / H_0 \cong k {\mathbb Z}\) es un grupo cíclico infinito con muchos subgrupos normales propios no triviales.
Si bien una serie de composición no es necesariamente única como en el caso de \({\mathbb Z}_{60}\text{,}\) resulta que dos series de composición cualquiera están relacionadas. Los cocientes de las dos series de composición para \({\mathbb Z}_{60}\) son \({\mathbb Z}_2\text{,}\) \({\mathbb Z}_2\text{,}\) \({\mathbb Z}_3\text{,}\) y \({\mathbb Z}_5\text{;}\) es decir, las dos series de composición son isomorfasEl Teorema de Jordan-Hölder dice que esto siempre se cumple.
Dos series de composición cualquiera de \(G\) son isomorfas.
Procederemos por inducción sobre el largo de la serie de composición. Si el largo de una serie de composición es 1, entonces \(G\) debe ser un grupo simple. En este caso cualquiera dos series de composición son isomorfas.
Supongamos que el teorema es verdadero para todos los grupos que tengan una serie de composición de largo \(k\text{,}\) donde \(1 \leq k \lt n\text{.}\) Sean
\begin{gather*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\\ G = K_m \supset K_{m-1} \supset \cdots \supset K_1 \supset K_0 = \{ e \} \end{gather*}dos series de composición para \(G\text{.}\) Podemos formar dos nuevas series subnormales para \(G\) pues \(H_i \cap K_{m-1}\) es normal en \(H_{i+1} \cap K_{m-1}\) y \(K_j \cap H_{n-1}\) es normal en \(K_{j+1} \cap H_{n-1}\text{:}\)
\begin{gather*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}\\ G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \}. \end{gather*}Como \(H_i \cap K_{m-1}\) es normal en \(H_{i+1} \cap K_{m-1}\text{,}\) el Segundo Teorema de Isomorfía (Teorema 11.12) implica que
\begin{align*} (H_{i+1} \cap K_{m-1}) / (H_i \cap K_{m-1}) & = (H_{i+1} \cap K_{m-1}) / (H_i \cap ( H_{i+1} \cap K_{m-1} ))\\ & \cong H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i, \end{align*}donde \(H_i\) es normal en \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\text{.}\) Como \(\{ H_i \}\) es una serie de composición, \(H_{i+1} / H_i\) es simple; en consecuencia, \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i\) es ya sea \(H_{i+1}/H_i\) o \(H_i/H_i\text{.}\) Es decir, \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\) debe ser \(H_i\) o \(H_{i+1}\text{.}\) Removiendo las inclusiones impropias de las series
\begin{equation*} H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}, \end{equation*}tenemos una serie de composición para \(H_{n-1}\text{.}\) La hipótesis de inducción dice que esta serie es equivalente a la serie de composición
\begin{equation*} H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}. \end{equation*}Luego, las series de composición
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \} \end{equation*}y
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \} \end{equation*}son equivalentes. Si \(H_{n-1} = K_{m-1}\text{,}\) entonces las series de composición \(\{H_i \}\) y \(\{ K_j \}\) son equivalentes y estamos listos; de lo contrario, \(H_{n-1} K_{m-1}\) es un subgrupo normal de \(G\) que contiene propiamente a \(H_{n-1}\text{.}\) En este caso \(H_{n-1} K_{m-1} = G\) y podemos volver a aplicar el Segundo Teorema de Isomorfía; esto es,
\begin{equation*} K_{m-1} / (K_{m-1} \cap H_{n-1}) \cong (H_{n-1} K_{m-1}) / H_{n-1} = G/H_{n-1}. \end{equation*}Por lo tanto,
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \} \end{equation*}y
\begin{equation*} G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \} \end{equation*}son equivalentes completando la demostración del teorema.
Un grupo \(G\) es soluble si tiene una serie subnormal \(\{ H_i \}\) tal que todos los cocientes \(H_{i+1} / H_i\) son abelianos. Los grupos solubles tendrán un rol fundamental cuando estudiemos teoría de Galois y la solución de ecuaciones polinomiales.
El grupo \(S_4\) es soluble pues
\begin{equation*} S_4 \supset A_4 \supset \{ (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) \} \supset \{ (1) \} \end{equation*}tiene grupos cociente abelianos; pero, para \(n \geq 5\) la serie
\begin{equation*} S_n \supset A_n \supset \{ (1) \} \end{equation*}es una serie de composición para \(S_n\) con un cociente no-abeliano. Por lo tanto, \(S_n\) no es un grupo soluble para \(n \geq 5\text{.}\)
