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Sección22.1Estructura de Cuerpos Finitos

Recuerde que un cuerpo \(F\) tiene característica \(p\) si \(p\) es el menor entero positivo tal que para cada elemento no nulo \(\alpha\) en \(F\text{,}\) tenemos \(p \alpha = 0\text{.}\) Si no hay tal entero, entonces \(F\) tiene característica 0. Del Teorema 16.19 sabemos que \(p\) debe ser primo. Supongamos que \(F\) es un cuerpo finito con \(n\) elementos. Entonces \(n \alpha = 0\) para todo \(\alpha\) en \(F\text{.}\) En consecuencia, la característica de \(F\) debe ser \(p\text{,}\) con \(p\) un primo que divide a \(n\text{.}\) Esta discusión se resume en la siguiente proposición.

En todo este capítulo supondremos que \(p\) es un primo a menos que indiquemos lo contrario.

Sea \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow F\) el homomorfismo de anillos definido por \(\phi(n) = n \cdot 1\text{.}\) Como la característica de \(F\) es \(p\text{,}\) el núcleo de \(\phi\) debe ser \(p {\mathbb Z}\) y la imagen de \(\phi\) debe ser un subcuerpo de \(F\) isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Denotaremos este subcuerpo por \(K\text{.}\) Como \(F\) es un cuerpo finito, debe ser una extensión finita de \(K\) y, por lo tanto, una extensión algebraica de \(K\text{.}\) Supongamos que \([F : K] = n\) es la dimensión de \(F\text{,}\) donde \(F\) es un \(K\) espacio vectorial. Deben existir elementos \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\) tales que cualquier elemento \(\alpha\) en \(F\) pueda ser escrito de una única manera en la forma

\begin{equation*} \alpha = a_1 \alpha_1 + \cdots + a_n \alpha_n, \end{equation*}

donde los \(a_i\) están en \(K\text{.}\) Como hay \(p\) elementos en \(K\text{,}\) hay \(p^n\) combincaciones lineales posibles de los \(\alpha_i\text{.}\) Por lo tanto, el orden de \(F\) debe ser \(p^n\text{.}\)

Procederemos por inducción en \(n\text{.}\) Podemos usar la fórmula del binomio (vea el Capítulo 2, Ejemplo 2.4) para verificar el caso \(n = 1\text{;}\) es decir,

\begin{equation*} (a + b)^p = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} a^k b^{p - k}. \end{equation*}

Si \(0 \lt k \lt p\text{,}\) entonces

\begin{equation*} \binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p - k)!} \end{equation*}

debe ser divisible por \(p\text{,}\) pues \(p\) no puede dividir a \(k!(p - k)!\text{.}\) Note que \(D\) es un dominio integral de característica \(p\text{,}\) así es que todos los términos de la suma, salvo el primero y el último son cero. Por lo tanto, \((a + b)^p = a^p + b^p\text{.}\)

Ahora supongamos que el resultado se cumple para todo \(k\text{,}\) con \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Por la hipótesis de inducción,

\begin{equation*} (a + b)^{p^{n + 1}} = ((a + b)^p)^{p^{n}} = (a^p + b^p)^{p^{n}} = (a^p)^{p^{n}} + (b^p)^{p^{n}} = a^{p^{n + 1}} + b^{p^{n + 1}}. \end{equation*}

Por lo tanto, el lema es verdadero para \(n + 1\) y la demostración está completa.

Sea \(F\) un cuerpo. Un polinomio \(f(x) \in F[x]\) de grado \(n\) es separable si tiene \(n\) raíces distintas en el cuerpo de descomposición de \(f(x)\text{;}\) es decir, \(f(x)\) es separable cuando se factoriza en factores lineales distintos sobre el cuerpo de descomposición de \(f\text{.}\) Una extensión \(E\) de \(F\) es una extensión separable de \(F\) si todo elemento en \(E\) es la raíz de un polinomio separable en \(F[x]\text{.}\)

Ejemplo22.4

El polinomio \(x^2 - 2\) es separable sobre \({\mathbb Q}\) pues se factoriza como \((x - \sqrt{2}\, )(x + \sqrt{2}\, )\text{.}\) De hecho, \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) es una extensión separable de \({\mathbb Q}\text{.}\) Sea \(\alpha = a + b \sqrt{2}\) un elemento cualquiera en \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\text{.}\) Si \(b = 0\text{,}\) entonces \(\alpha\) es una raíz de \(x - a\text{.}\) Si \(b \neq 0\text{,}\) entonces \(\alpha\) es la raíz del polinomio separable

\begin{equation*} x^2 - 2 a x + a^2 - 2 b^2 = (x - (a + b \sqrt{2}\, ))(x - (a - b \sqrt{2}\, )). \end{equation*}

Afortunadamente, tenemos una forma fácil para determinar la separabilidad de cualquier polinomio. Sea

\begin{equation*} f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \end{equation*}

un polinomio en \(F[x]\text{.}\) Se define la derivada de \(f(x)\) como

\begin{equation*} f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}. \end{equation*}

Sea \(f(x)\) separable. Entonces \(f(x)\) se factoriza sobre algún cuerpo de extensión de \(F\) como \(f(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\text{,}\) con \(\alpha_i \neq \alpha_j\) para \(i \neq j\text{.}\) Tomando la derivada de \(f(x)\text{,}\) vemos que

\begin{align*} f'(x) & = (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\\ & + (x - \alpha_1) (x - \alpha_3) \cdots (x - \alpha_n)\\ & + \cdots + (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_{n - 1}). \end{align*}

Luego, \(f(x)\) y \(f'(x)\) no pueden tener ningún factor común.

Para demostrar el recíproco, mostraremos que se cumple la afirmación contrapositiva. Supongamos que \(f(x) = (x - \alpha)^k g(x)\text{,}\) con \(k \gt 1\text{.}\) Derivando, tenemos

\begin{equation*} f'(x) = k ( x - \alpha)^{k-1} g(x) + (x- \alpha)^k g'(x). \end{equation*}

Por lo tanto, \(f(x)\) y \(f'(x)\) tienen un factor común.

Sea \(f(x) = x^{p^n} - x\) y sea \(F\) el cuerpo de descomposición de \(f(x)\text{.}\) Por el Lema 22.5, \(f(x)\) tiene \(p^n\) ceros distintos en \(F\text{,}\) pues \(f'(x) = p^n x^{p^n - 1} - 1 = -1\) es relativamente primo con \(f(x)\text{.}\) Afirmamos que las raíces de \(f(x)\) forman un subcuerpo de \(F\text{.}\) Ciertamente 0 y 1 son ceros de \(f(x)\text{.}\) Si \(\alpha\) y \(\beta\) son ceros de \(f(x)\text{,}\) entonces \(\alpha + \beta\) y \(\alpha \beta\) también son ceros de \(f(x)\text{,}\) pues \(\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = (\alpha + \beta)^{p^n}\) y \(\alpha^{p^n} \beta^{p^n} = (\alpha \beta)^{p^n}\text{.}\) También debemos mostrar que el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de cada raíz de \(f(x)\) son raíces de \(f(x)\text{.}\) Para cualquier cero \(\alpha\) de \(f(x)\text{,}\) sabemos que \(-\alpha\) también es cero de \(f(x)\text{,}\) pues

\begin{equation*} f(-\alpha) = (-\alpha)^{p^n} - (-\alpha) = -\alpha^{p^n} + \alpha = -(\alpha^{p^n} - \alpha) = 0, \end{equation*}

suponiendo que \(p\) is impar. Si \(p = 2\text{,}\) entonces

\begin{equation*} f(-\alpha) = (-\alpha)^{2^n} - (-\alpha) = \alpha + \alpha = 0. \end{equation*}

Si \(\alpha \neq 0\text{,}\) entonces \((\alpha^{-1})^{p^n} = (\alpha^{p^n})^{-1} = \alpha^{-1}\text{.}\) Como los ceros de \(f(x)\) forman un subcuerpo de \(F\) y \(f(x)\) se descompone en este subcuerpo, el subcuerpo debe ser todo \(F\text{.}\)

Sea \(E\) cualquier otro cuerpo de orden \(p^n\text{.}\) Para mostrar que \(E\) es isomorfo a \(F\text{,}\) debemos mostrar que todo elemento en \(E\) es una raíz de \(f(x)\text{.}\) Claramente 0 y 1 son raíces de \(f(x)\text{.}\) Sea \(\alpha\) un elemento no nulo de \(E\text{.}\) El orden del grupo multiplicativo de elementos no nulos de \(E\) es \(p^n-1\text{;}\) luego, \(\alpha^{p^n-1} =1\) y \(\alpha^{p^n} -\alpha = 0\text{.}\) Como \(E\) contiene \(p^n\) elementos, \(E\) debe ser un cuerpo de descomposición de \(f(x)\text{;}\) pero, por el Corolario 21.34, el cuerpo de descomposición de cualquier polinomio es único salvo isomorfía.

El único cuerpo con \(p^n\) elementos se llama cuerpo de Galois de orden \(p^n\text{.}\) Denotaremos este cuerpo por \(\gf(p^n)\text{.}\)

Sea \(F\) un subcuerpo de \(E = \gf(p^n)\text{.}\) Entonces \(F\) debe ser una extensión de \(K\) que contiene \(p^m\) elementos, donde \(K\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Entonces \(m \mid n\text{,}\) pues \([E:K] = [E:F][F:K]\text{.}\)

Para demostrar el recíproco, supongamos que \(m \mid n\) para algún \(m \gt 0\text{.}\) Entonces \(p^m -1\) divide a \(p^n -1\text{.}\) En consecuencia, \(x^{p^m -1} - 1\) divide a \(x^{p^n -1} -1\text{.}\) Por lo tanto, \(x^{p^m} - x\) debe dividir a \(x^{p^n} - x\text{,}\) y todo cero de \(x^{p^m} - x\) también es un cero de \(x^{p^n} - x\text{.}\) Luego, \(\gf(p^n)\) contiene, como subcuerpo, un cuerpo de descomposición de \(x^{p^m} - x\text{,}\) que debe ser isomorfo a \(\gf(p^m)\text{.}\)

Ejemplo22.8

El reticulado de subcuerpos de \(\gf(p^{24})\) está dado en la Figura 22.9.

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Figura22.9Subcuerpos de \(\gf(p^{24})\)

Con cada cuerpo \(F\) tenemos un grupo multiplicativo de elementos no nulos de \(F\) que denotaremos por \(F^*\text{.}\) El grupo multiplicativo de un cuerpo finito cualquiera es cíclico. Este resultado se sigue del resultado más general que demostraremos en el próximo teorema.

Sea \(G\) un subgrupo finito de \(F^\ast\) de orden \(n\text{.}\) Por el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos (Teorema 13.4),

\begin{equation*} G \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}, \end{equation*}

donde \(n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}\) y los \(p_1, \ldots, p_k\) son primos (no necesariamente distintos). Sea \(m\) el mínimo común múltiplo de \(p_1^{e_1}, \ldots, p_k^{e_k}\text{.}\) Entonces \(G\) contiene un elemento de orden \(m\text{.}\) Como todo \(\alpha\) en \(G\) satisface \(x^r - 1\) para algún \(r\) que divide a \(m\text{,}\) \(\alpha\) debe también ser raíz de \(x^m - 1\text{.}\) Como \(x^m -1\) tiene a lo más \(m\) raíces en \(F\text{,}\) \(n \leq m\text{.}\) Por otra parte, sabemos que \(m \leq |G|\text{;}\) por lo tanto, \(m = n\text{.}\) Luego, \(G\) contiene un elemento de orden \(n\) y tiene que ser cíclico.

Sea \(\alpha\) un generador del grupo cíclico \(E^{\ast}\) de elementos distintos de cero de \(E\text{.}\) Entonces \(E = F( \alpha )\text{.}\)

Ejemplo22.13

El cuerpo finito \(\gf(2^4)\) es isomorfo al cuerpo \({\mathbb Z}_2/ \langle 1 + x + x^4 \rangle\text{.}\) Por lo tanto, los elementos de \(\gf(2^4)\) se puede tomar como

\begin{equation*} \{ a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + a_3 \alpha^3 : a_i \in {\mathbb Z}_2 \text{ and } 1 + \alpha + \alpha^4 = 0 \}. \end{equation*}

Recordando que \(1 + \alpha +\alpha^4 = 0\text{,}\) sumamos y multiplicamos elementos de \(\gf(2^4)\) exactamente como sumamos y multiplicamos polinomios. El grupo multiplicativo de \(\gf(2^4)\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_{15}\) con generador \(\alpha\text{:}\)

\begin{align*} & \alpha^1 = \alpha & & \alpha^6 = \alpha^2 + \alpha^3 & & \alpha^{11} = \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^2 = \alpha^2 & & \alpha^7 = 1 + \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{12} = 1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^3 = \alpha^3 & & \alpha^8 = 1 + \alpha^2 & & \alpha^{13} = 1 + \alpha^2 + \alpha^3 &\\ & \alpha^4 = 1 + \alpha & & \alpha^9 = \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{14} = 1 + \alpha^3 &\\ &\alpha^5 = \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{10} = 1 + \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{15} = 1. & \end{align*}