Si bien no es evidente al comienzo, los grupos cociente corresponden exactamente con las imágenes homomorfas, y podemos usar grupos cociente para estudiar homomorfismos. Ya sabemos que con cada homomorfismo de grupos \(\phi: G \rightarrow H\) podemos asociar un subgrupo normal de \(G\text{,}\) \(\ker \phi\text{.}\) El recíproco también es cierto; es decir, todo subgrupo normal de un grupo \(G\) da lugar a un homomorfismo de grupos.
Sea \(H\) un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Defina el homorfismo natural o homomorfismo canónico
\begin{equation*} \phi : G \rightarrow G/H \end{equation*}por
\begin{equation*} \phi(g) = gH. \end{equation*}Este de hecho es un homomorfismo, pues
\begin{equation*} \phi( g_1 g_2 ) = g_1 g_2 H = g_1 H g_2 H = \phi( g_1) \phi( g_2 ). \end{equation*}El núcleo de este homomorfismo es \(H\text{.}\) Los siguientes teoremas describen la relación entre homomorfismos de grupos, subgrupos normales, y grupos cociente.
Si \(\psi : G \rightarrow H\) es un homomorfismo de grupos con \(K =\ker \psi\text{,}\) entonces \(K\) es normal en \(G\text{.}\) Sea \(\phi: G \rightarrow G/K\) el homomorfismo canónico. Entonce eciste un único isomorfismo \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) tal que \(\psi = \eta \phi\text{.}\)
Ya vimos que \(K\) es normal en \(G\text{.}\) Defina \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) por \(\eta(gK) = \psi(g)\text{.}\) Primero demostraremos que \(\eta\) es una función bien definida. Si \(g_1 K =g_2 K\text{,}\) entonces existe \(k \in K\text{,}\) tal que \(g_1 k=g_2\text{;}\) por lo tanto,
\begin{equation*} \eta(g_1 K) = \psi(g_1) = \psi(g_1) \psi(k) = \psi(g_1k) = \psi(g_2) = \eta(g_2 K). \end{equation*}Luego, \(\eta\) no depende de la elección de representante de la clase lateral y la función \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) está únicamente definida pues \(\psi = \eta \phi\text{.}\) Debemos mostrar además que \(\eta\) es un homomorfismo, pero
\begin{align*} \eta( g_1K g_2K ) & = \eta(g_1 g_2K)\\ & = \psi(g_1 g_2)\\ & = \psi(g_1) \psi(g_2)\\ & = \eta( g_1K) \eta( g_2K ). \end{align*}Claramente, \(\eta\) es sobre \(\psi( G)\text{.}\) Para mostrar que \(\eta\) es 1-1, supongamos que \(\eta(g_1 K) = \eta(g_2 K)\text{.}\) Entonces \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\text{.}\) Esto implica que \(\psi( g_1^{-1} g_2 ) = e\text{,}\) y \(g_1^{-1} g_2\) está en el núcleo de \(\psi\text{;}\) luego, \(g_1^{-1} g_2K = K\text{;}\) es decir, \(g_1K =g_2K\text{.}\)
Los matemáticos a menudo usamos diagramas llamados diagramas conmutativos par describir teoremas como este. El siguiente diagrama “conmuta” pues \(\psi = \eta \phi\text{.}\)
Sea \(G\) un grupo cíclico con generador \(g\text{.}\) Definamos una función \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) por \(n \mapsto g^n\text{.}\) Esta función es un homomorfismo epiyectivo pues
\begin{equation*} \phi( m + n) = g^{m+n} = g^m g^n = \phi(m) \phi(n). \end{equation*}Claramente \(\phi\) es sobre. Si \(|g| = m\text{,}\) entonces \(g^m = e\text{.}\) Luego, \(\ker \phi = m {\mathbb Z}\) y \({\mathbb Z} / \ker \phi = {\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong G\text{.}\) Por otra parte, si el orden de \(g\) es infinito, entonces \(\ker \phi = 0\) y \(\phi\) es un isomorfismo de \(G\) en \({\mathbb Z}\text{.}\) Luego, dos grupos cíclicos son isomorfos exactamente cuando tienen el mismo orden. Salvo isomorfismo, los únicos grupos cíclicos son \({\mathbb Z}\) y \({\mathbb Z}_n\text{.}\)
Sea \(H\) un subgrupo de \(G\) (no necesariamente normal) y sea \(N\) un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Entonces \(HN\) es un subgrupo de \(G\text{,}\) \(H \cap N\) es un subgrupo normal de \(H\text{,}\) y
\begin{equation*} H / H \cap N \cong HN /N. \end{equation*}Demostraremos primero que \(HN = \{ hn : h \in H, n \in N \}\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Supongamos que \(h_1 n_1, h_2 n_2 \in HN\text{.}\) Como \(N\) is normal, \((h_2)^{-1} n_1 h_2 \in N\text{.}\) Así
\begin{equation*} (h_1 n_1)(h_2 n_2) = h_1 h_2 ( (h_2)^{-1} n_1 h_2 )n_2 \end{equation*}está en \(HN\text{.}\) El inverso de \(hn \in HN\) está en \(HN\) pues
\begin{equation*} ( hn )^{-1} = n^{-1 } h^{-1} = h^{-1} (h n^{-1} h^{-1} ). \end{equation*}A continuación, demostraremos que \(H \cap N\) es normal en \(H\text{.}\) Sea \(h \in H\) y \(n \in H \cap N\text{.}\) Entonces \(h^{-1} n h \in H\) pues cada elemento está en \(H\text{.}\) Además, \(h^{-1} n h \in N\) pues \(N\) es normal en \(G\text{;}\) por lo tanto, \(h^{-1} n h \in H \cap N\text{.}\)
Ahora defina una función \(\phi\) de \(H\) a \(HN / N\) por \(h \mapsto h N\text{.}\) La función \(\phi\) es sobreyectiva, pues cualquier clase lateral \(h n N = h N\) es la imagen de \(h\) en \(H\text{.}\) También sabemos que \(\phi\) es un homomorfismo pues
\begin{equation*} \phi( h h') = h h' N = h N h' N = \phi( h ) \phi( h'). \end{equation*}Por el Primer Teorema de Isomorfía, la imagen de \(\phi\) es isomorfa a \(H / \ker \phi\text{;}\) es decir,
\begin{equation*} HN/N = \phi(H) \cong H / \ker \phi. \end{equation*}Como
\begin{equation*} \ker \phi = \{ h \in H : h \in N \} = H \cap N, \end{equation*}\(HN/N = \phi(H) \cong H / H \cap N\text{.}\)
Sea \(N\) un subgrupo normal de un grupo \(G\text{.}\) Entonces \(H \mapsto H/N\) es una correspondencia 1-1 entre el conjunto de subgrupos \(H\) que contienen a \(N\) y el conjunto de subgrupos de \(G/N\text{.}\) Más aún, los subgrupos normales de \(G\) que contienen a \(N\) corresponden a los subgrupos normales de \(G/N\text{.}\)
Sea \(H\) un subgrupo de \(G\) que contiene a \(N\text{.}\) Como \(N\) es normal en \(H\text{,}\) \(H/N\) tiene sentido. Sean \(aN\) y \(bN\) elementos de \(H/N\text{.}\) Entonces \((aN)( b^{-1} N )= ab^{-1}N \in H/N\text{;}\) luego, \(H/N\) es un subgrupo de \(G/N\text{.}\)
Sea \(S\) un subgrupo debe \(G/N\text{.}\) Este subgrupo es un conjunto de clases laterales de \(N\text{.}\) Si \(H= \{ g \in G : gN \in S \}\text{,}\) entonces para \(h_1, h_2 \in H\text{,}\) tenemos que \((h_1 N)( h_2 N )= h_1 h_2 N \in S\) y \(h_1^{-1} N \in S\text{.}\) Por lo tanto, \(H\) debe ser un subgrupo de \(G\text{.}\) Claramente, \(H\) contiene a \(N\text{.}\) Por lo tanto, \(S = H / N\text{.}\) Concluimos que, la función \(H \mapsto H/N\) es sobreyectiva.
Supongamos que \(H_1\) y \(H_2\) son subgrupos de \(G\) que contienen a \(N\) tales que \(H_1/N = H_2/N\text{.}\) Si \(h_1 \in H_1\text{,}\) entonces \(h_1 N \in H_1/N\text{.}\) Luego, \(h_1 N = h_2 N \subset H_2\) para algún \(h_2\) en \(H_2\text{.}\) Pero, como \(N\) está contenido en \(H_2\text{,}\) sabemos que \(h_1 \in H_2\) o \(H_1 \subset H_2\text{.}\) Similarmente, \(H_2 \subset H_1\text{.}\) Como \(H_1 = H_2\text{,}\) la función \(H \mapsto H/N\) es 1-1.
Supongamos que \(H\) es normal en \(G\) y que \(N\) es un subgrupo de \(H\text{.}\) Entonces es fácil verificar que la función \(G/N \rightarrow G/H\) definida por \(gN \mapsto gH\) es un homomorfismo. El núncleo de este homomorfismo es \(H/N\text{,}\) lo que demuestra que \(H/N\) es normal en \(G/N\text{.}\)
Recíprocamente, supongamos que \(H/N\) es normal en \(G/N\text{.}\) El homomorfismo dado por
\begin{equation*} G \rightarrow G/N \rightarrow \frac{G/N}{H/N} \end{equation*}tiene núcleo \(H\text{.}\) Luego, \(H\) es normal en \(G\text{.}\)
Notemos que en la demostración del Teorema 11.13, también hemos demostrado el siguiente teorema.
Sea \(G\) un grupo y sean \(N\) y \(H\) subgrupos normales de \(G\) con \(N \subset H\text{.}\) Entonces
\begin{equation*} G/H \cong \frac{G/N}{H/N}. \end{equation*}Por el Tercer Teorema de Isomorfía,
\begin{equation*} {\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong ({\mathbb Z}/ mn {\mathbb Z})/ (m {\mathbb Z}/ mn {\mathbb Z}). \end{equation*}Como \(| {\mathbb Z} / mn {\mathbb Z} | = mn\) y \(|{\mathbb Z} / m{\mathbb Z}| = m\text{,}\) tenemos \(| m {\mathbb Z} / mn {\mathbb Z}| = n\text{.}\)
