Estudiando los grupos cíclicos descubrimos que todo grupo de orden primo es isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{,}\) done \(p\) es un número primo. También establecimos que \({\mathbb Z}_{mn} \cong {\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) cuando \(\gcd(m, n) =1\text{.}\) De hecho, hay mucho más. Todo grupo abeliano finito es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos cuyos órdenes son potencias de primos; es decir, todo grupo abeliano finito es isomorfo a un grupo del tipo
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{p_1^{\alpha_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_n^{\alpha_n}}, \end{equation*}donde cada \(p_k\) es primo (no necesariamente distintos).
Primero examinemos una leve generalización de los grupos abelianos finitos. Supongamos que \(G\) es un grupo y sea \(\{ g_i\}\) un conjunto de elementos en \(G\text{,}\) con \(i\) en algún conjunto de índices \(I\) (no necesariamente finito). El menor subgrupo de \(G\) que contenga todos los \(g_i\) es el subgrupo de \(G\) generado por los \(g_i\text{.}\) Si este subgrupo de \(G\) es todo \(G\text{,}\) entonces \(G\) es generado por el conjunto \(\{g_i : i \in I \}\text{.}\) En este caso diremos que los \(g_i\) son generadores de \(G\text{.}\) Si existe un conjunto finito \(\{ g_i : i \in I \}\) que genere a \(G\text{,}\) entonces \(G\) es finitamente generado.
Obviamente, todos los grupos finitos son finitamente generados. Por ejemplo, el grupo \(S_3\) es generado por las permutaciones \((12)\) y \((123)\text{.}\) El grupo \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}_n\) es un grupo infinito pero es finitamente generado por \(\{ (1,0), (0,1) \}\text{.}\)
No todos los grupos son finitamente generados. Consideremos los números racionales \({\mathbb Q}\) con la suma. Supongamos que \({\mathbb Q}\) es finitamente generado con generadores \(p_1/q_1, \ldots, p_n/q_n\text{,}\) donde cada \(p_i/q_i\) es una fracción reducida. Sea \(p\) un primo que no divide a ninguno de los denominadores \(q_1, \ldots, q_n\text{.}\) Afirmamos que \(1/p\) no puede estar en el subgrupo de \({\mathbb Q}\) generado por \(p_1/q_1, \ldots, p_n/q_n\text{,}\) pues \(p\) no divide al denominador de ningún elemento de este subgrupo. Esto es fácil de ver pues la suma de dos generadores cualquiera es
\begin{equation*} p_i / q_i + p_j / q_j = (p_i q_j + p_j q_i)/(q_i q_j). \end{equation*}Sea \(H\) el subgrupo de un grupo \(G\) generado por \(\{ g_i \in G : i \in I \}\text{.}\) Entonces \(h \in H\) si y solo si es un producto de la forma
\begin{equation*} h = g_{i_1}^{\alpha_1} \cdots g_{i_n}^{\alpha_n}, \end{equation*}donde los \(g_{i_k}\) no son necesariamente diferentes.
Sea \(K\) el conjunto de todos los productos de la forma \(g_{i_1}^{\alpha_1} \cdots g_{i_n}^{\alpha_n}\text{,}\) donde los \(g_{i_k}\) no son necesariamente diferentes. Ciertamente \(K\) es un subconjunto de \(H\text{.}\) Solo debemos mostrar que \(K\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Si es así, entonces \(K=H\text{,}\) pues \(H\) es el menor subgrupo que contiene todos los \(g_i\text{.}\)
Claramente, \(K\) es cerrado bajo la operación del grupo. Como \(g_i^0 = 1\text{,}\) la identidad está en \(K\text{.}\) Falta mostrar que el inverso de un elemento \(g =g_{i_1}^{k_1} \cdots g_{i_n}^{k_n}\) en \(K\) también está en \(K\text{.}\) Pero,
\begin{equation*} g^{-1} = (g_{i_1}^{k_{1}} \cdots g_{i_n}^{k_n})^{-1} = (g_{i_n}^{-k_n} \cdots g_{i_{1}}^{-k_{1}}). \end{equation*}El motivo por el que potencias de un cierto \(g_i\) podrían ocurrir varias veces en el producto es que el grupo podría no ser abeliano. Pero, si el grupo es abeliano, entonces los \(g_i\) solo necesitan aparecer una vez. Por ejemplo, un producto como \(a^{-3} b^5 a^7\) en un grupo abeliano siempre se puede simplificar (en este caso, como \(a^4 b^5\)).
Nos concentraremos ahora en los grupos abelianos finitos. Podemos expresar cualquier grupo abeliano finito como un producto directo finito de grupos cíclicos. Más específicamente, si \(p\) es un número primo, diremos que un grupo \(G\) es un \(p\)-grupo si todo elemento en \(G\) tiene como su orden una potencia de \(p\text{.}\) Por ejemplo, tanto \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) como \({\mathbb Z}_4\) son \(2\)-grupos, mientras \({\mathbb Z}_{27}\) es un \(3\)-grupo. Demostraremos el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos que nos dice que todo grupo abeliano finito es isomorfo a un producto directo de \(p\)-grupos cíclicos
Todo grupo abeliano finito \(G\) es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de la forma
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{p_1^{ \alpha_1 }} \times {\mathbb Z}_{p_2^{ \alpha_2 }} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_n^{ \alpha_n }} \end{equation*}acá los \(p_i\) son primos (no necesariamente diferentes).
Supongamos que queremos clasificar todos los grupos abelianos de orden \(540=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5\text{.}\) El Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos nos dice que tenemos las siguientes seis posibilidades.
\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_5\text{;}\)
\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_9 \times {\mathbb Z}_5\text{;}\)
\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_{27} \times {\mathbb Z}_5\text{;}\)
\({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_5\text{;}\)
\({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_3 \times {\mathbb Z}_9 \times {\mathbb Z}_5\text{;}\)
\({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_{27} \times {\mathbb Z}_5\text{.}\)
La demostración del Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos depende de varios lemas.
Sea \(G\) un grupo abeliano finito de orden \(n\text{.}\) Si \(p\) es un primo que divide a \(n\text{,}\) entonces \(G\) contiene un elemento de orden \(p\text{.}\)
Demostraremos este lema por inducción. Si \(n = 1\text{,}\) entonces no hay nada que demostrar. Ahora supongamos que el orden de \(G\) es \(n\) y que el lema es verdadero para todos los grupos de orden \(k\text{,}\) donde \(k \lt n\text{.}\) Más aún, sea \(p\) un primo que divide a \(n\text{.}\)
Si \(G\) no tiene subgrupos propios no triviales, entonces \(G = \langle a \rangle\text{,}\) donde \(a\) es cualquier elemento distinto de la identidad. Por el Ejercicio 4.4.39, el orden de \(G\) es primo. Como \(p\) divide a \(n\text{,}\) sabemos que \(p = n\text{,}\) y \(G\) contiene \(p - 1\) elementos de orden \(p\text{.}\)
Ahora supongamos que \(G\) contiene un subgrupo no trivial propio \(H\text{.}\) Entonces \(1 \lt |H| \lt n\text{.}\) Si \(p \mid |H|\text{,}\) entonces \(H\) contiene un elemento de orden \(p\) por la hipótesis de inducción y el lema se cumple para \(G\text{.}\) Supongamos que \(p\) no divide el orden de \(H\text{.}\) Como \(G\) es abeliano, \(H\) es un subgrupo normal de \(G\text{,}\) y \(|G| = |H| \cdot |G/H|\text{.}\) De manera que \(p\) divide a \(|G/H|\text{.}\) Como \(|G/H| \lt |G| = n\text{,}\) sabemos que \(G/H\) contiene un elemento \(aH\) de orden \(p\) por la hipótesis de inducción. Luego,
\begin{equation*} H = (aH)^p = a^pH, \end{equation*}y \(a^p \in H\) pero \(a \notin H\text{.}\) Si \(|H| = r\text{,}\) entonces \(p\) y \(r\) son relativamente primos, y existen enteros \(s\) y \(t\) tales que \(sp + tr = 1\text{.}\) Además, el orden de \(a^p\) divide a \(r\text{,}\) y \((a^p)^r = (a^r)^p = 1\text{.}\)
Afirmamos que \(a^r\) tiene orden \(p\text{.}\) Debemos mostrar que \(a^r \neq 1\text{.}\) Supongamos que \(a^r = 1\text{.}\) Entonces
\begin{align*} a & = a^{sp + tr}\\ & = a^{sp} a^{tr}\\ & = (a^p)^s (a^r)^t\\ & = (a^p)^s 1\\ & = (a^p)^s. \end{align*}Como \(a^p \in H\text{,}\) tenemos \(a= (a^p)^s \in H\text{,}\) lo que es una contradicción. Por lo tanto, \(a^r \neq 1\) es un elemento de orden \(p\) in \(G\text{.}\)
El Lema 13.6 es un caso particular del Teorema de Cauchy (Teorema 15.1, que dice que si \(G\) es un grupo finito y \(p\) es un primoque divide el orden de \(G\text{,}\) entonces \(G\) contiene un subgrupo de orden \(p\text{.}\) Demostraremos el Teorema de Cauchy en el Capítulo 15.
Un grupo abeliano finito es un \(p\)-grupo si y solo si su orden es una potencia de \(p\text{.}\)
Si \(|G| = p^n\) entonces, por el teorema de Lagrange, el orden de cualquier \(g \in G\) divide a \(p^n\text{,}\) y por lo tanto es una potencia de \(p\text{.}\) Recíprocamente, si \(|G|\) no es una potencia de \(p\text{,}\) entonces tiene algún otro divisor primo \(q\text{,}\) y por el Lema 13.6, \(G\) tiene un elemento de orden \(q\) por lo que no es un \(p\)-grupo.
Sea \(G\) un grupo abeliano finito de orden \(n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\text{,}\) con \(p_1, \ldots, p_k\) primos distintos y \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k\) enteros positivos. Entonces \(G\) es el producto drecto interno de subgrupos \(G_1, G_2, \ldots, G_k\text{,}\) donde \(G_i\) es el subgrupo de \(G\) que consiste de todos los elementos de orden \(p_i^k\) para algún entero \(k\text{.}\)
Como \(G\) es un grupo abeliano, tenemos que \(G_i\) es un subgrupo de \(G\) para \(i = 1, \ldots, n\text{.}\) Como la identidad tiene orden \(p_i^0 = 1\text{,}\) sabemos que \(1 \in G_i\text{.}\) Si \(g \in G_i\) tiene orden \(p_i^r\text{,}\) entonces \(g^{-1}\) también debe tener orden \(p_i^r\text{.}\) Finalmente, si \(h \in G_i\) tiene orden \(p_i^s\text{,}\) entonces
\begin{equation*} (gh)^{p_i^t} = g^{p_i^t} h^{p_i^t} = 1 \cdot 1 = 1, \end{equation*}donde \(t\) es el mayor entre \(r\) y \(s\text{.}\)
Debemos mostrar que
\begin{equation*} G = G_1 G_2 \cdots G_n \end{equation*}y \(G_i \cap G_j = \{1 \}\) para \(i \neq j\text{.}\) Supongamos que \(g_1 \in G_1\) está en el subgrupo generado por \(G_2, G_3, \ldots, G_k\text{.}\) Entonces \(g_1 = g_2 g_3 \cdots g_k\) para \(g_i \in G_i\text{.}\) Como \(g_i\) tiene orden \(p^{\alpha_i}\text{,}\) sabemos que \(g_i^{p^{\alpha_i}} = 1\) para \(i = 2, 3, \ldots, k\text{,}\) y \(g_1^{p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}} = 1\text{.}\) Como el orden de \(g_1\) es una potencia de \(p_1\) y \(\gcd(p_1, p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}) = 1\text{,}\) tenemos que \(g_1 = 1\) y la intersección de \(G_1\) con cualquiera de los subgrupos \(G_2, G_3, \ldots, G_k\) ies la identidad. Un argumento similar muestra que \(G_i \cap G_j = \{1 \}\) para \(i \neq j\text{.}\) Luego, \(G_1 G_2 \cdots G_n\) es un producto directo interno de subgrupos. Como
\begin{equation*} |G_1 G_2 \cdots G_k| = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k} = |G|, \end{equation*}tenemos que \(G = G_1 G_2 \cdots G_k\text{.}\)
Nos falta determinar la posible estructura de cada uno de los \(p_i\)-grupos \(G_i\) en el Lema 13.8.
Sea \(G\) un \(p\)-grupo abeliano finito y supongamos que \(g \in G\) tiene orden maximal. Entonces \(G\) es isomorfo a \(\langle g \rangle \times H\) para algún subgrupo \(H\) de \(G\text{.}\)
Por el Lema 13.7, podemos suponer que el orden de \(G\) es \(p^n\text{.}\) Procederemos por inducción en \(n\text{.}\) Si \(n= 1\text{,}\) entonces \(G\) es cíclico de orden \(p\) y debe estar generado por \(g\text{.}\) Supongamos ahora que el lema se cumple para todos los enteros \(k\) con \(1 \leq k \lt n\) y sea \(g\) de orden maximal en \(G\text{,}\) digamos \(|g| = p^{m}\text{.}\) Entonces \(a^{p^m} = e\) para todo \(a \in G\text{.}\) Ahora elijamos \(h\) en \(G\) tal que \(h \notin \langle g \rangle\text{,}\) donde \(h\) tiene el menor orden posible. Ciertamente podemos suponer que tal \(h\) existe; de otra manera, \(G = \langle g \rangle\) y estamos listos. Sea \(H = \langle h \rangle\text{.}\)
Afirmamos que \(\langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{.}\) Es suficiente con mostrar que \(|H|=p\text{.}\) Como \(|h^p| = |h| / p\text{,}\) el orden de \(h^p\) es menor que el orden de \(h\) y debe estar en \(\langle g \rangle\) por la minimalidad del orden de \(h\text{;}\) es decir, \(h^p = g^r\) para algún \(r\text{.}\) Luego,
\begin{equation*} (g^r)^{p^{m - 1}} = (h^p)^{p^{m - 1}} = h^{p^{m}} = e, \end{equation*}y el orden de \(g^r\) es menor o igual a \(p^{m-1}\text{.}\) Por lo tanto, \(g^r\) no puede generar \(\langle g \rangle\text{.}\) Notemos que \(p\) debe ser un divisor de \(r\text{,}\) digamos \(r = ps\text{,}\) y \(h^p = g^r = g^{ps}\text{.}\) Definamos \(a\) como \(g^{-s}h\text{.}\) Entonces \(a\) no puede estar en \(\langle g \rangle\text{;}\) de otra manera, \(h\) también estaría en \(\langle g \rangle\text{.}\) Además,
\begin{equation*} a^p = g^{-sp} h^p = g^{-r} h^p = h^{-p} h^p = e. \end{equation*}Hemos formado un elemento \(a\) de orden \(p\) tal que \(a \notin \langle g \rangle\text{.}\) Como \(h\) fue elegido de orden minimal entre todos los elementos fuera de \(\langle g\rangle\text{,}\) \(|H| = p\text{.}\)
Ahora mostraremos que el orden de \(gH\) en el grupo cociente \(G/H\) debe ser el mismo que el orden de \(g\) en \(G\text{.}\) Si \(|gH| \lt |g| = p^m\text{,}\) entonces
\begin{equation*} H = (gH)^{p^{m-1}} = g^{p^{m-1}} H; \end{equation*}luego, \(g^{p^{m-1}}\) está en \(\langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{,}\) lo que contradice el hecho de que el orden de \(g\) es \(p^m\text{.}\) Por lo tanto, \(gH\) tiene orden maximal en \(G/H\text{.}\) Por el Teorema de Correspondencia y la hipótesis de inducción ,
\begin{equation*} G/H \cong \langle gH \rangle \times K/H \end{equation*}para algún subgrupo \(K\) de \(G\) que contiene a \(H\text{.}\) Afirmamos que \(\langle g \rangle \cap K = \{ e \}\text{.}\) Si \(b \in \langle g \rangle \cap K\text{,}\) entonces \(bH \in \langle gH \rangle \cap K/H = \{ H \}\) y \(b \in \langle g \rangle \cap H = \{ e \}\text{.}\) Concluimos que \(G = \langle g \rangle K\) implica que \(G \cong \langle g \rangle \times K\text{.}\)
La demostración del Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos sigue rápidamente del Lema 13.9. Procediendo por inducción en el orden del grupo, supongamos que \(G\) es un grupo abeliano finito y sea \(g\) un elemento de orden maximal en \(G\text{.}\) Si \(\langle g \rangle = G\text{,}\) estamos listos; de lo contrario, \(G \cong {\mathbb Z}_{|g|} \times H\) para algún subgrupo \(H\) contenido en \(G\) por el lema. Como \(|H| \lt |G|\text{,}\) podemos usar la hipótesis de inducción.
Ahora enunciamos el teorema más general que vale para todos los grupos abelianos finitamente generados. La demostración de este teorema se puede encontrar en cualquiera de las referencias al final del capítulo.
Todo grupo abeliano finitamente generado \(G\) es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de la forma
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{p_1^{ \alpha_1 }} \times {\mathbb Z}_{p_2^{ \alpha_2 }} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_n^{ \alpha_n }} \times {\mathbb Z} \times \cdots \times {\mathbb Z}, \end{equation*}donde los \(p_i\) son primos (no necesariamente distintos).
