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Capítulo23Teoría de Galois

Un problema cásico de álgebra es encontrar las soluciones de una ecuación polinomial. La solución de la ecuación cuadrática se conoce desde la antigüedad. Matemáticos italianos encontraron soluciones geenrales para las ecuaciones cúbica y cuártica en el siglo XVI; sin embargo, todos los intentos por resolver la ecuación general de grado cinco, o quíntica, fueron infructuosos durante los siguientes trecientos años. Por supuesto, ecuaciones particulares como \(x^5 - 1 = 0\) o \(x^6 - x^3 - 6 = 0\) podían ser resueltas, pero ninguna solución similar a la fórmula cuadrática fue encontrada para la ecuación general de grado cinco,

\begin{equation*} a x^5 + b x^4 +c x^3 + d x^2 + e x + f = 0. \end{equation*}

Finalmente, al comienzo del siglo XIX, Ruffini y Abel ambos encontraron quínticas que no podían resolverse con ninguna fórmula. Fue Galois, sin embargo, quien produjo la explicación completa mostrando que polinomios podían o no podían ser resueltos mediante fórmulas. Él descubrió la conección entre los grupos y las extensiones de cuerpos. La teoría de Galois demuestra la fuerte interdependencia que existe entre la teoría de grupos y la teoría de cuerpos y ha tenido importantes consecuencias mucho más allá de su objetivo inicial.

En este capítulo demostraremos el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois. Este resultado se usará para demostrar la insolubilidad de la quíntica y para demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra.