En ocasiones necesitaremos estudiar grupos más pequeños dentro de un grupo mayor. El conjunto de los enteros pares \(2{\mathbb Z} = \{\ldots, -2, 0, 2, 4, \ldots \}\) es un grupo bajo la operación de adición. Este grupo está naturalmente contenido en el grupo de enteros bajo adición. Definimos un subgrupo \(H\) de un grupo \(G\) como un subconjunto \(H\) de \(G\) tal que con la operación de \(G\) restringida a \(H\text{,}\) \(H\) es un grupo. Observe que todo grupo \(G\) con al menos dos elementos siempre tiene al menos dos subgrupos, el subgrupo que consiste únicamente del elemento identidad y el grupo completo. El subgrupo \(H = \{ e \}\) de un grupo \(G\) se llama subgrupo trivial. Un subgrupo que es un subconjunto propio de \(G\) se llama subgrupo propio. En muchos de los ejemplos que hemos considerado hasta ahora, existen otros subgrupos aparte de los subgrupos trivial e impropio.
Ejemplo3.24
Considere el conjunto de los números reales no nulos, \({\mathbb R}^*\text{,}\) con la operación de multiplicación para formar un grupo. La identidad de este grupo es 1 y el inverso de cualquier elemento \(a \in {\mathbb R}^*\) es simplemente \(1/a\text{.}\) Mostraremos que
\begin{equation*}
{\mathbb Q}^* = \{ p/q : p \, {\rm y }\, q\, {\rm son\, enteros\, no\, nulos} \}
\end{equation*}
es un subgrupo de \({\mathbb R}^*\text{.}\) La identidad de \({\mathbb R}^*\) es 1; sin embargo, \(1 = 1/1\) es el cociente de dos enteros no nulos. Por lo tanto, la identidad de \({\mathbb R}^*\) está en \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Dados dos elementos en \({\mathbb Q}^*\text{,}\) digamos \(p/q\) y \(r/s\text{,}\) su producto \(pr/qs\) también está en \({\mathbb Q}^*\text{.}\) El inverso de cualquier elemento \(p/q \in {\mathbb Q}^*\) está nuevamente en \({\mathbb Q}^*\) pues \((p/q)^{-1} = q/p\text{.}\) Como la multiplicación en \({\mathbb R}^*\) es asociativa, multiplicación en \({\mathbb Q}^*\) es asociativa.
Ejemplo3.25
Recuerde que \({\mathbb C}^{\ast}\) es el grupo multiplicativo de los números complejo no nulos. Sea \(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\) Entonces \(H\) es un subgrupo de \({\mathbb C}^{\ast}\text{.}\) Es fácil verificar que \(H\) es un grupo con la operación de multiplicación y que \(H \subset {\mathbb C}^{\ast}\text{.}\)
Ejemplo3.26
Sea \(SL_2( {\mathbb R})\) el subconjunto de \(GL_2( {\mathbb R })\) que contiene las matrices de determinante uno; es decir, una matriz
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\end{equation*}
está en \(SL_2( {\mathbb R})\) precisamente cuando \(ad - bc = 1\text{.}\) Para mostrar que \(SL_2( {\mathbb R})\) es un subgrupo del grupo lineal general, debemos demostrar que también es un grupo con la operación de multiplicación de matrices. La matriz identidad de \(2 \times 2\) está en \(SL_2( {\mathbb R})\text{,}\) así como la inversa de la matriz \(A\text{:}\)
\begin{equation*}
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Falta mostrar que la multiplicación es cerrada; es decir, que el producto de dos matrices de determinante uno también tiene determinante uno. Dejaremos esta tarea como ejercicio. El grupo \(SL_2({\mathbb R})\) se llama grupo lineal especial.
Ejemplo3.27
Es importante notar que un subconjunto \(H\) de un grupo \(G\) puede ser un grupo sin ser un subgrupo de \(G\text{.}\) Para que \(H\) sea un subgrupo de \(G\) debe heredar la operación binaria de \(G\text{.}\) El conjunto de todas las matrices de \(2 \times 2\text{,}\) \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{,}\) forma un grupo con la operación de adición. El grupo lineal general \(GL_2( {\mathbb R})\) es un subconjunto de \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\) y es un grupo con la operación de multiplicación de matrices, pero no es un subgrupo de \({\mathbb M}_2(\mathbb R)\text{.}\) Si sumamos dos matrices invertibles no necesariamente obtendremos otra matriz invertible. Observe que
pero la matriz cero no está en \(GL_2( {\mathbb R })\text{.}\)
Ejemplo3.28
Una manera de saber si dos grupos son el mismo grupo, es examinando sus subgrupos. Aparte del subgrupo trivial y del grupo mismo, el grupo \({\mathbb Z}_4\) tiene exactamente un subgrupo adicional que consiste de los elementos 0 y 2. A partir del grupo \({\mathbb Z}_2\text{,}\) podemos formar otro grupo de cuatro elementos como sigue. Como conjunto, este grupo es \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Realizamos las operacioens coordenada a coordenada; es decir, \((a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)\text{.}\) El Cuadro 3.29 es una tabla de sumas para \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Como hay tres subgrupos propios no triviales de \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{,}\) \(H_1 = \{ (0,0), (0,1) \}\text{,}\) \(H_2 = \{ (0,0), (1,0) \}\text{,}\) y \(H_3 = \{ (0,0), (1,1) \}\text{,}\) \({\mathbb Z}_4\) y \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) deben ser grupos diferentes.
Primero supongamos que \(H\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Debemos mostrar que se cumplen las tres condiciones. Como \(H\) es un grupo, debe tener una identidad \(e_H\text{.}\) Debemos demostrar que \(e_H = e\text{,}\) donde \(e\) es la identidad de \(G\text{.}\) Sabemos que \(e_H e_H = e_H\) y que \(ee_H = e_H e = e_H\text{;}\) por lo tanto, \(ee_H = e_H e_H\text{.}\) Por cancelación a la derecha, \(e =e_H\text{.}\) La segunda condición se cumple pues un subgrupo de \(H\) es un grupo. Para demostrar la tercera condición, sea \(h \in H\text{.}\) Como \(H\) es un grupo, hay un elemento \(h' \in H\) tal que \(hh' = h'h = e\text{.}\) Por la unicidad del inverso en \(G\text{,}\) \(h' = h^{-1}\text{.}\)
Recíprocamente, si se cumplen la tres condiciones, debemos demostrar que \(H\) es un grupo con la misma operación que \(G\text{;}\) pero, estas tres condiciones más la asociatividad de la operación binaria son exactamente las condiciones de la definición de grupo.
Proposición3.31
Sea \(H\) un subconjunto de un grupo \(G\text{.}\) Entonces \(H\) es un subgrupo de \(G\) si y solo si \(H \neq \emptyset\text{,}\) y para todo \(g, h \in H\) se tiene que \(gh^{-1}\) está en \(H\text{.}\)
Supongamos primero que \(H\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Queremos mostrar que \(gh^{-1} \in H\) cada vez que \(g\) y \(h\) están en \(H\text{.}\) Como \(h\) está en \(H\text{,}\) su inverso \(h^{-1}\) también debe estar en \(H\text{.}\) Por la clausura de la operación de grupo, \(gh^{-1} \in H\text{.}\)
Recíprocamente, supongamos que \(H \subset G\) tal que \(H \neq \emptyset\) y \(g h^{-1} \in H\) cada vez que \(g, h \in H\text{.}\) Si \(g \in H\text{,}\) entonces \(gg^{-1} = e\) está en \(H\text{.}\) Si \(g \in H\text{,}\) entonces \(eg^{-1} = g^{-1}\) también está en \(H\text{.}\) Sean ahora \(h_1, h_2 \in H\text{.}\) Debemos demostrar que su producto está también en \(H\text{.}\) pero, \(h_1(h_2^{-1})^{-1} = h_1 h_2 \in H\text{.}\) Luego, \(H\) es un subgrupo de \(G\text{.}\)
