Sección10.3Ejercicios
¶1
Para cada uno de los siguientes grupos \(G\text{,}\) determine si es que \(H\) es un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Si \(H\) es un subgrupo normal, escriba una tabla de Cayley para el grupo cociente \(G/H\text{.}\)
\(G = S_4\) and \(H = A_4\)
\(G = A_5\) and \(H = \{ (1), (123), (132) \}\)
\(G = S_4\) and \(H = D_4\)
\(G = Q_8\) and \(H = \{ 1, -1, I, -I \}\)
\(G = {\mathbb Z}\) and \(H = 5 {\mathbb Z}\)
2
Encuentre todos los subgrupos de \(D_4\text{.}\) ¿Cuáles subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos cociente de \(D_4\) salvo isomorfismo?
3
Encuentre todos los subgrupos de the quaternion group, \(Q_8\text{.}\) ¿Cuáles subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos cociente de \(Q_8\) salvo isomorfismo?
4
Sea \(T\) el grupo de matrices triangulares superiores no singulares de \(2 \times 2\) con coeficientes en \({\mathbb R}\text{;}\) es decir, matrices de la forma
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & c
\end{pmatrix},
\end{equation*}
donde \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c \in {\mathbb R}\) y \(ac \neq 0\text{.}\) Sea \(U\) el conjunto de matrices de la forma
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & x \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\end{equation*}
donde \(x \in {\mathbb R}\text{.}\)
Muestre que \(U\) es un subgrupo de \(T\text{.}\)
Demuestre que \(U\) es abeliano.
Demuestre que \(U\) es normal en \(T\text{.}\)
Muestre que \(T/U\) es abeliano.
¿Es \(T\) normal en \(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)
5
Muestre que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo normal.
6
Si \(G\) es abeliano, demuestre que \(G/H\) también es abeliano.
7
Demuestre o refute: Si \(H\) es un subgrupo normal de \(G\) tal que \(H\) y \(G/H\) son abelianos, entonces \(G\) es abeliano.
8
Si \(G\) es cíclico, demuestre que \(G/H\) también es cíclico.
9
Demuestre o refute: Si \(H\) y \(G/H\) son cíclicos, entonces \(G\) es cíclico.
10
Sea \(H\) un subgrupo de índice 2 de un grupo \(G\text{.}\) Demuestre que \(H\) es normal en \(G\text{.}\) Concluya que \(S_n\) no es simple para \(n \geq 3\text{.}\)
11
Si un grupo \(G\) tiene exactemente un subgrupo \(H\) de orden \(k\text{,}\) demuestre que \(H\) es normal en \(G\text{.}\)
12
Defina el centralizador de un elemento \(g\) en un grupo \(G\) como el conjunto
\begin{equation*}
C(g) = \{ x \in G : xg = gx \}.
\end{equation*}
Muestre que \(C(g)\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Si \(g\) genera un subgrupo normal de \(G\text{,}\) demuestre que \(C(g)\) es normal en \(G\text{.}\)
13
Recuerde que el centro de un grupo \(G\) es el conjunto
\begin{equation*}
Z(G) = \{ x \in G : xg = gx \text{ para todo } g \in G \}.
\end{equation*}
Calcule el centro de \(S_3\text{.}\)
Calcule el centro de \(GL_2 ( {\mathbb R} )\text{.}\)
Muestre que el centro de cualquier grupo \(G\) es un subgrupo normal de \(G\text{.}\)
Si \(G / Z(G)\) es cíclico, demuestre que \(G\) es abeliano.
14
Sea \(G\) un grupo y sea \(G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\text{;}\) es decir, \(G'\) es el subgrupo de todos los productos finitos de elementos en \(G\) de la forma \(aba^{-1}b^{-1}\text{.}\) El subgrupo \(G'\) se llama subgrupo conmutador de \(G\text{.}\)
Muestre que \(G'\) es un subgrupo normal de \(G\text{.}\)
Sea \(N\) un subgrupo normal de \(G\text{.}\) Demuestre que \(G/N\) es abeliano si y solo si \(N\) contiene al subgrupo conmutador de \(G\text{.}\)