Investiguemos ahora ciertas estructuras matemáticas que pueden ser vistas como conjuntos con una sola operación.
Los enteros mód \(n\) se han vuelto indispensables en la teoría y las aplicaciones del álgebra. En matemáticas se usan en criptografía, teoría de códigos, y la detección de errores en códigos de identificación.
Ya hemos visto que dos enteros \(a\) y \(b\) son equivalentes mód \(n\) si \(n\) divide a \(a - b\text{.}\) Los enteros mód \(n\) también particionan \({\mathbb Z}\) en \(n\) distintas clases de equivalencia; denotaremos el conjunto de estas clases de equivalencia por \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Considere los enteros módulo 12 y la correspondiente partición de los enteros:
\begin{align*} {[0]} & = \{ \ldots, -12, 0, 12, 24, \ldots \},\\ {[1]} & = \{ \ldots, -11, 1, 13, 25, \ldots \},\\ & \vdots\\ {[11]} & = \{ \ldots, -1, 11, 23, 35, \ldots \}. \end{align*}Cuando no haya posibilidad de confusión, usaremos \(0, 1, \ldots, 11\) para indicar las clases de equivalencia \({[0]}, {[1]}, \ldots, {[11]}\) respectivamente. Podemos hacer aritmética en \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Para dos enteros \(a\) y \(b\text{,}\) definimos adición módulo \(n\) como \((a + b) \pmod{n}\text{;}\) es decir, el resto de la división de \(a + b\) entre \(n\text{.}\) Similarmente, la multiplicación módulo \(n\) se define como \((a b) \pmod{ n}\text{,}\) el resto de la división de \(a b\) entre \(n\text{.}\)
Los siguiente ejemplos ilustran la aritméticas de los enteros módulo \(n\text{:}\)
\begin{align*} 7 + 4 & \equiv 1 \pmod{ 5} & 7 \cdot 3 & \equiv 1 \pmod{ 5}\\ 3 + 5 & \equiv 0 \pmod{ 8} & 3 \cdot 5 & \equiv 7 \pmod{ 8}\\ 3 + 4 & \equiv 7 \pmod{ 12} & 3 \cdot 4 & \equiv 0 \pmod{ 12}\text{.} \end{align*}En particular, notemos que es posible que el producto de dos números no equivalentes a \(0 \) módulo \(n\) sea equivalente a \(0 \) módulo \(n\text{.}\)
La mayoría, pero no todas, las reglas usuales de la aritmética se cumplen para la adición y la multiplicación en \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Por ejemplo, no es necesariamente cierto que haya un inverso multiplicativo. Considere la tabla de multiplicación para \({\mathbb Z}_8\) en el Cuadro 3.3. Note que 2, 4, y 6 no tienen inversos multiplicativos; es decir, para \(n = 2\text{,}\) 4, o 6, no hay un entero \(k\) tal que \(k n \equiv 1 \pmod{ 8}\text{.}\)
Sea \({\mathbb Z}_n\) el conjunto de clases de equivalencia de los enteros mód \(n\) y sean \(a, b, c \in {\mathbb Z}_n\text{.}\)
Adición y multiplicación son conmutativas:
\begin{align*} a + b & \equiv b + a \pmod{ n}\\ a b & \equiv b a \pmod{ n}. \end{align*}Adición y multiplicación son asociativas:
\begin{align*} (a + b) + c & \equiv a + (b + c)\pmod{ n}\\ (a b) c & \equiv a (b c) \pmod{ n}. \end{align*}Hay neutros para ambas operaciones:
\begin{align*} a + 0 & \equiv a \pmod{ n}\\ a \cdot 1 & \equiv a \pmod{ n}. \end{align*}La multiplicación distribuye sobre la adición:
\begin{equation*} a (b + c) \equiv a b + a c \pmod{ n}. \end{equation*}Para cada entero \(a\) hay un inverso aditivo \(-a\text{:}\)
\begin{equation*} a + (-a) \equiv 0 \pmod{ n}. \end{equation*}Sea \(a\) un entero no nulo. Entonces \(\gcd(a,n) = 1\) si y solo si hay un inverso multiplicativo \(b\) para \(a \pmod{n}\text{;}\) es decir, un entero no nulo \(b\) tal que
\begin{equation*} a b \equiv 1 \pmod{ n}. \end{equation*}Demostraremos (1) y (6) y dejaremos las demás propiedades para ser demostradas en los ejercicios.
(1) Adición y multiplicación son conmutativas módulo \(n\) pues el resto obtenido al dividir \(a + b\) entre \(n\) es el mismo que el resto obtenido al dividir \(b + a\) entre \(n\text{.}\)
(6) Supongamos que \(\gcd(a, n) = 1\text{.}\) Entonces existen enteros \(r\) y \(s\) tales que \(ar + ns = 1\text{.}\) Como \(ns = 1 - ar\text{,}\) se cumple que \(ar \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\) Si \(b\) es la clase de equivalencia de \(r\text{,}\) \(a b \equiv 1\pmod{n}\text{.}\)
Recíprocamente, supongamos que hay un entero \(b\) tal que \(ab \equiv 1 \pmod{ n}\text{.}\) Entonces \(n\) divide a \(ab -1\text{,}\) de manera que hay un entero \(k\) tal que \(ab - nk = 1\text{.}\) Sea \(d = \gcd(a,n)\text{.}\) Como \(d\) divide a \(ab - nk\text{,}\) \(d\) también divide a 1; luego, \(d = 1\text{.}\)
Una simetría de una figura geométrica es un reposicionamiento de la figura que preserva las relaciones entre sus lados y vértices tal como las distancias y los ángulos. Una función del plano en sí mismo que preserva la simetría de un objeto se llama movimiento rígido. Por ejemplo, si miramos el rectángulo de la Figura 3.5, es fácil ver que una rotación en \(180^{\circ}\) o \(360^{\circ}\) devuelve un rectángulo en el plano con la misma orientación como el rectángulo original y la misma relación entre sus vértices. Una reflexión del rectángulo por su eje vertical o su eje horizontal también puede ser reconocida como simetría de éste. Sin embargo, una rotación en \(90^{\circ}\) en cualquier dirección no puede ser una simetría del rectángulo a menos que sea un cuadrado.
Encontremos las simetrías de un triángulo equilátero \(\bigtriangleup ABC\text{.}\) Para encontrar las simetrías de \(\bigtriangleup ABC\text{,}\) debemos primero examinar las permutaciones de los vértices \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) y \(C\) para luego preguntarnos si una permutación se extiende a una simetría del triángulo. Recuerde que una permutación de un conjunto \(S\) es una función biyectiva \(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Los tres vértices tienen \(3! = 6\) permutaciones, de manera que el triángulo tiene a lo más seis simetrías. Para ver que hay seis permutaciones, observe que hay tres diferentes elecciones para el primer vértice, y dos para el segundo, y que el vértice restante está determinado por la posición de los primeros dos. Así tenemos \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6\) arreglos diferentes. Para describir una permutación de los vértices de un triángulo equilátero que envía \(A\) en \(B\text{,}\) \(B\) en \(C\text{,}\) y \(C\) en \(A\text{,}\) escribiremos el arreglo
\begin{equation*} \begin{pmatrix} A & B & C \\ B & C & A \end{pmatrix}. \end{equation*}Note que esta permutación en particular corresponde al movimiento rígido de rotar el triángulo en \(120^{\circ}\) en dirección horaria. De hecho, cada permutación produce una simetría del triángulo. Todas estas simetría se muestran en la Figura 3.6.
Es natural preguntarse qué pasa si un movimiento del triángulo \(\bigtriangleup ABC\) es seguido por otro. ¿Qué simetría es \(\mu_1 \rho_1\text{;}\) es decir, si realizamos la permutación \(\rho_1\) y luego la permutación \(\mu_1\text{?}\) Recuerde que acá estamos componiendo funciones. A pesar de que usualmente multiplicamos de izquierda a derecha, componemos funciones de derecha a izquierda. Tenemos
\begin{align*} (\mu_1 \rho_1)(A) & = \mu_1( \rho_1( A ) ) = \mu_1( B ) = C\\ (\mu_1 \rho_1)(B) & = \mu_1( \rho_1( B ) ) = \mu_1( C ) = B\\ (\mu_1 \rho_1)(C) & = \mu_1( \rho_1( C ) ) = \mu_1( A ) = A. \end{align*}Esta es la misma simetría que \(\mu_2\text{.}\) Supongamos que hacemos estas mismas operaciones en el orden opuesto, \(\rho_1 \mu_1\text{.}\) Es fácil determinar que esto es lo mismo que la simetría \(\mu_3\text{;}\) luego, \(\rho_1 \mu_1 \neq \mu_1 \rho_1\text{.}\) Una tabla de multiplicación de simetrías de un triángulo equilátero \(\bigtriangleup ABC\) se encuentra en el Cuadro 3.7.
Note que en la tabla de multiplicación para las simetrías de un triángulo equilátero, para cada movimiento \(\alpha\) del triángulo, hay otro movimiento \(\beta\) tal que \(\alpha \beta = \identity\text{;}\) es decir, para cada movimiento hay otro movimiento que devuelve al triángulo a su orientación original.
