Este ejercicio ejemplifica el Teorema 15.13. El subgrupo conmutador se puede obtener con el método .commutator(). Para el grupo dihedral de orden \(40\text{,}\) \(D_{20}\) (DihedralGroup(20) en Sage), calcule el subgrupo conmutador y forme el cociente del grupo dihedral por este subgrupo. Compruebe que este cocienet es abeliano. ¿Puede identificar a qué grupo conocido es isomorfo este cociente?
Para cada primo para el que tenga sentido, encuentre todos los \(p\)-subgrupos de Sylow del grupo alternante \(A_5\text{.}\) Confirme que sus resultados son consistentes con el Terecer Teorema de Sylow Theorem para cada primo. Sabemos que \(A_5\) es un grupo simple. Diga por qué esto podría ayudar a explicar cierto aspecto de sus respuestas.
Cuente el número total de elementos distintos contenidos en la unión de todos los subgrupos de Sylow que acaba de encontrar. ¿Qué le parece interesante de esta cuenta?
Para el grupo dihedral \(D_{36}\) (simetrías de un polígono regular de \(36\) lados) y para cada primo, determine los posibles valores para el número de \(p\)subgrupos de Sylow según lo establecido en el Tercer Teorema de Sylow(15.8). Ahora calcule el número efectivo de \(p\)subgrupos de Sylow para cada primo y comente sobre el resultado.
Es posible demostrar que ningún grupo de orden \(72\) es un grupo simple, usando técnicas como las usadas en los últimos ejemplos de este capítulo. Discuta este resultado en el contexto de sus cálculos con Sage.
Este ejercicio ejemplifica el Lema 15.6. Sea \(G\) el grupo dihedral de orden \(36\text{,}\) \(D_{18}\text{.}\) Sea \(H\) uno de los \(3\)-subgrupos de Sylow. Sea \(K\) el subgrupo de orden \(6\) generado por las dos permutaciones a y b dadas abajo. Primero, forme una lista de los distintos conjugados de \(K\) por los elementos de \(H\text{,}\) y cuente el número de subgrupos en esta lista. Compare esto con el índice dado en el eneunciado del lema, empleando un solo comando (largo) que haga uso de los métodos .order(), .normalizer() y .intersection() aplicados a \(G\text{,}\) \(H\) y \(K\text{,}\) solamente.
El Ejemplo 15.19 muestra que todo grupo de orden \(48\) tiene un subgrupo normal. Los grupos dicíclicos forman una familia infinita de grupos no-abelianos de orden \(4n\text{,}\) que incluye al grupo de los cuaterniones (el caso \(n=2\)). El grupo DiCyclicGroup(12) tiene orden 48. Use Sage para ilustrar la lógica de la demostración en el Ejemplo 15.19 y obtenga un subgrupo normal. (En otras palabras, no pida simplemente la lista de subgrupos normales, sino siga las implicaciones del ejemplo para arribar a un subgrupo normal, y luego compruebe su respuesta.)
Las demostraciones del Segundo y Tercer Teorema de Sylow (15.7, 15.8) emplean una acción de grupo en conjuntos de \(p\)-subgrupos de Sylow \(p\text{.}\) Para el Segundo Teorema, la lista se propone como incompleta y luego se demuestra que contiene todos los \(p\)-subgrupos de Sylow. En este ejercicio veremos como se comportan estas acciones, y como se diferencian cuando usamos distintos grupos actuando en el mismo conjunto.
Construya los seis \(5\)-subgrupos de Sylow del grupo alternante \(A_5\text{.}\) Este será el conjunto de objetos para nuestras dos acciones. La conjugación de uno de estos \(5\)-subgrupos de Sylow por un elemento de \(A_5\) producirá otro \(5\)-subgrupo de Sylow, y puede por lo tanto ser usada para definir una acción de grupo. Para una tal acción, para cada elemento del grupo, forme una permutación en Sage numerando los seis subgrupos y usando esos enteros como etiquetas para los subgrupos. El método para listas .index() de Python le será muy útil. Ahora use todas estas permutaciones para generar un grupo de permutaciones (un subgrupo de \(S_6\)). Finalmente, use métodos de grupos de permutaciones para la obtención de órbitas y estabilizadores, etc. para explorar las acciones.
Para la primera acción, utilice todo \(A_5\) como su grupo. Muestre que la acción resultante es transitiva. En otras palabras, existe una sola órbita.
Para la segunda acción, use uno de los \(5\)-subgrupos de Sylow como su grupo. Escriba la ecuación de clases para esta acción que sugiera la parte “congruencia a \(1\) mod \(p\)” de las conclusiones del Tercer Teorema.
