Sección17.1Anillos de Polinomios
¶En todo este capítulo supondremos que \(R\) es un anillo conmutativo con uno. Una expresión de la forma
\begin{equation*}
f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n,
\end{equation*}
donde \(a_i \in R\) y \(a_n \neq 0\text{,}\) se llama polinomio sobre \(R\) con indeterminada \(x\text{.}\) Los elementos \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) se llaman coeficientes de \(f\text{.}\) El coeficiente \(a_n\) se llama coeficiente líder. Un polinomio se llama mónico si su coeficiente líder es 1. Si \(n\) es el mayor entero no negativo para el que \(a_n \neq 0\text{,}\) decimos que el grado de \(f\) es \(n\) y escribimos \(\deg f(x) = n\text{.}\) Si no existe tal \(n\)—es decir, si \(f=0\) es el polinomio cero—entonces el grado de \(f\) se define como \(-\infty\text{.}\) Denotaremos por \(R[x]\) al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en un anillo \(R\text{.}\) Dos polinomios son iguales exactamente cuando sus coeficientes correspondientes son iguales; es decir, si
\begin{align*}
p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\
q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m,
\end{align*}
entonces \(p(x) = q(x)\) si y solo si \(a_i = b_i\) para todo \(i \geq 0\text{.}\)
Para mostrar que el conjunto de todos los polinomios forma un anillo, debemos primero definir adición y multiplicación. Definimos la suma de dos polinomios como sigue. Sean
\begin{align*}
p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\
q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m.
\end{align*}
Entonces la suma de \(p(x)\) y \(q(x)\) es
\begin{equation*}
p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k,
\end{equation*}
donde \(c_i = a_i + b_i\) for each \(i\text{.}\) Definimos el producto de \(p(x)\) y \(q(x)\) como
\begin{equation*}
p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n},
\end{equation*}
donde
\begin{equation*}
c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0
\end{equation*}
para cada \(i\text{.}\) Notemos que en cada caso algunos de los coeficientes pueden ser cero.
Ejemplo17.1
Supongamos que
\begin{equation*}
p(x) = 3 + 0 x + 0 x^2 + 2 x^3 + 0 x^4
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
q(x) = 2 + 0 x - x^2 + 0 x^3 + 4 x^4
\end{equation*}
son polinomios en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Si el coeficiente de algún término en un polinomio es cero, entonces simplemente omitiremos ese término. En este caso escribiremos \(p(x) = 3 + 2 x^3\) y \(q(x) = 2 - x^2 + 4 x^4\text{.}\) La suma de estos dos polinomios es
\begin{equation*}
p(x) + q(x)= 5 - x^2 + 2 x^3 + 4 x^4.
\end{equation*}
El producto,
\begin{equation*}
p(x) q(x) = (3 + 2 x^3)( 2 - x^2 + 4 x^4 ) = 6 - 3x^2 + 4 x^3 + 12 x^4 - 2 x^5 + 8 x^7,
\end{equation*}
puede ser calculado ya sea determinando los \(c_i\) en la definición o simplemente multiplicando los polinomios de la misma forma en que lo hemos hecho siempre.
Ejemplo17.2
Sean
\begin{equation*}
p(x) = 3 + 3 x^3 \qquad \text{and} \qquad q(x) = 4 + 4 x^2 + 4 x^4
\end{equation*}
polinomios en \({\mathbb Z}_{12}[x]\text{.}\) La suma de \(p(x)\) y \(q(x)\) es \(7 + 4 x^2 + 3 x^3 + 4 x^4\text{.}\) El producto de los dos polinomios es el polinomio cero. Este ejemplo nos muestra que no podemos esperar que \(R[x]\) sea un dominio integral si \(R\) no es un dominio integral.
Teorema17.3
Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Entonces \(R[x]\) es un anillo conmutativo con identidad.
Demostración
Nuestra primera tarea es mostrar que \(R[x]\) es un grupo abeliano con la operación de suma de polinomios. El polinomio cero, \(f(x) = 0\text{,}\) es el neutro aditivo. Dado un polinomio \(p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}\) el inverso aditivo de \(p(x)\) es \(-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}\) La conmutatividad y la asociatividad son consecuencia inmediata de la definición de la suma de polinomios y del hecho que la adición en \(R\) es tanto conmutativa como asociativa.
Para mostrar que la multiplicación de polinomios es asociativa, sean
\begin{align*}
p(x) & = \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i,\\
q(x) & = \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i,\\
r(x) & = \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i.
\end{align*}
Entonces
\begin{align*}
[p(x) q(x)] r(x) & = \left[ \left( \sum_{i=0}^{m} a_i x^i \right) \left( \sum_{i=0}^{n} b_i x^i \right) \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\
& = \left[ \sum_{i = 0}^{m+n} \left( \sum_{j = 0}^{i} a_j b_{i - j} \right) x^i \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\
& = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} \left( \sum_{k=0}^j a_k b_{j-k} \right) c_{i-j} \right] x^i\\
& = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left(\sum_{j + k + l = i} a_j b_k c_l \right) x^i\\
& = \sum_{i = 0}^{m+n+p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} a_j \left( \sum_{k = 0}^{i - j} b_k c_{i - j - k} \right) \right] x^i\\
& = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \sum_{i = 0}^{n + p} \left( \sum_{j = 0}^{i} b_j c_{i - j} \right) x^i \right]\\
& = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \left( \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i \right) \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right) \right]\\
& = p(x) [ q(x) r(x) ]
\end{align*}
La conmutatividad y la distributividad se demuestran de forma similar. Dejaremos estas demostraciones como ejercicios.
Proposición17.4
Sean \(p(x)\) y \(q(x)\) polinomios en \(R[x]\text{,}\) donde \(R\) es un dominio integral. Entonces \(\deg p(x) + \deg q(x) = \deg( p(x) q(x) )\text{.}\) Además, \(R[x]\) es un dominio integral.
Demostración
Supongamos que tenemos dos polinomios distintos de cero
\begin{equation*}
p(x) = a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0
\end{equation*}
con \(a_m \neq 0\) y \(b_n \neq 0\text{.}\) Los grados de \(p(x)\) y \(q(x)\) son \(m\) y \(n\text{,}\) respectivamente. El término líder de \(p(x) q(x)\) es \(a_m b_n x^{m + n}\text{,}\) que no puede ser cero pues \(R\) es un dominio integral; Vemos que el grado de \(p(x) q(x)\) es \(m + n\text{,}\) y \(p(x)q(x) \neq 0\text{.}\) Como \(p(x) \neq 0\) y \(q(x) \neq 0\) implica que \(p(x)q(x) \neq 0\text{,}\) concluimos que \(R[x]\) también es un dominio integral.
También queremos considerar polynomios en dos o más variables, tales cómo \(x^2 - 3 x y + 2 y^3\text{.}\) Sea \(R\) un anillo y supongamos que tenemos dos variables \(x\) e \(y\text{.}\) Ciertamente podemos formar el anillo \((R[x])[y]\text{.}\) Es directo, aunque quizás tedioso, demostrar que \((R[x])[y] \cong R([y])[x]\text{.}\) Identificaremos estos dos anillos por medio de este isomorfismo y simplemente escribiremos \(R[x,y]\text{.}\) El anillo \(R[x, y]\) se llama anillo de polinomios en dos variables \(x\) e \(y\) con coeficientes en \(R\text{.}\) Podemos definir similarmente el anillo de polinomios en \(n\) variables con coeficientes en \(R\text{.}\) Denotaremos este anillo por \(R[x_1, x_2, \ldots, x_n]\text{.}\)
Teorema17.5
Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad y sea \(\alpha \in R\text{.}\) Entonces tenemos un homomorfismo de anillos \(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) definido por
\begin{equation*}
\phi_{\alpha} (p(x) ) = p( \alpha ) = a_n \alpha^n + \cdots + a_1 \alpha + a_0,
\end{equation*}
donde \(p( x ) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\text{.}\)
Demostración
Sean \(p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i\) y \(q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}\) Es fácil mostrar que \(\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}\) Para mostrar que la multiplicación es preservada por la función \(\phi_{\alpha}\text{,}\) observemos que
\begin{align*}
\phi_{\alpha} (p(x) ) \phi_{\alpha} (q(x)) & = p( \alpha ) q(\alpha)\\
& = \left( \sum_{i = 0}^n a_i \alpha^i \right) \left( \sum_{i = 0}^m b_i \alpha^i \right)\\
& = \sum_{i = 0}^{m + n} \left( \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} \right) \alpha^i\\
& = \phi_{\alpha} (p(x) q(x)).
\end{align*}
La función \(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) se llama homomorfismo de evaluación en \(\alpha\text{.}\)