Dos grupos \((G, \cdot)\) y \((H, \circ)\) son isomorfos si existe una función biyectiva \(\phi : G \rightarrow H\) que preserve la operación de grupo; es decir,
\begin{equation*}
\phi( a \cdot b) = \phi( a) \circ \phi( b)
\end{equation*}
para todo \(a\) y \(b\) en \(G\text{.}\) Si \(G\) es isomorfo con \(H\text{,}\) escribimos \(G \cong H\text{.}\) La función \(\phi\) se llama un isomorfismo.
Ejemplo9.1
Para demostrar que \({\mathbb Z}_4 \cong \langle i \rangle\text{,}\) defina una función \(\phi: {\mathbb Z}_4 \rightarrow \langle i \rangle\) como \(\phi(n) = i^n\text{.}\) Debemos mostrar que \(\phi\) es biyectiva y que preserva la operación de grupo. La función \(\phi\) es biyectiva pues
\begin{align*}
\phi(0) & = 1\\
\phi(1) & = i\\
\phi(2) & = -1\\
\phi(3) & = -i.
\end{align*}
Como
\begin{equation*}
\phi(m + n) = i^{m+n} = i^m i^n = \phi(m) \phi( n),
\end{equation*}
se preserva la operación de grupo.
Ejemplo9.2
Podemos definir un isomorfismo \(\phi\) del grupo aditivo de los números reales \(( {\mathbb R}, + )\) al grupo multiplicativo de los números reales positivos \(( {\mathbb R^+}, \cdot )\) mediante la función exponencial; es decir,
\begin{equation*}
\phi( x + y) = e^{x + y} = e^x e^y = \phi( x ) \phi( y).
\end{equation*}
Por supuesto, debemos aún demostrar que \(\phi\) es una biyección; esto puede ser hecho usando cálculo diferencial.
Ejemplo9.3
Los enteros son isomorfos al subgrupo de \({\mathbb Q}^\ast\) que consiste de los elementos de la forma \(2^n\text{.}\) Defina una función \(\phi: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Q}^\ast\) como \(\phi( n ) = 2^n\text{.}\) Entonces
\begin{equation*}
\phi( m + n ) = 2^{m + n} = 2^m 2^n = \phi( m ) \phi( n ).
\end{equation*}
Por definición la función \(\phi\) es sobreyectiva en el subconjunto \(\{2^n :n \in {\mathbb Z} \}\) de \({\mathbb Q}^\ast\text{.}\) Para mostrar que la función es inyectiva, supongamos que \(\phi(m) = \phi(n)\text{.}\) Entonces \(2^m = 2^n\) y \(2^{m-n} = 1\text{.}\) Concluimos que \(m = n\text{.}\)
Ejemplo9.4
Los grupos \({\mathbb Z}_8\) y \({\mathbb Z}_{12}\) no pueden ser isomorfos pues tienen diferentes órdenes; Sin embargo \(U(8) \cong U(12)\text{.}\) Sabemos que
\begin{align*}
U(8) & = \{1, 3, 5, 7 \}\\
U(12) & = \{1, 5, 7, 11 \}.
\end{align*}
Un isomorfismo \(\phi : U(8) \rightarrow U(12)\) está dado por
\begin{align*}
1 & \mapsto 1\\
3 & \mapsto 5\\
5 & \mapsto 7\\
7 & \mapsto 11.
\end{align*}
La función \(\phi\) no es el único isomorfismo posible entre estos dos grupos. Podríamos definir otro isomorfismo \(\psi\) como \(\psi(1) = 1\text{,}\) \(\psi(3) = 11\text{,}\) \(\psi(5) = 5\text{,}\) \(\psi(7) = 7\text{.}\) De hecho, estos dos grupos son isomorfos a \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) (Vea el Ejemplo 3.28 en el Capítulo 3).
Ejemplo9.5
Si bien \(S_3\) y \({\mathbb Z}_6\) poseen el mismo número de elementos, podríamos sospechar que no son isomorfos, pues \({\mathbb Z}_6\) es abeliano y \(S_3\) es no abeliano. Para demostrar que esto es así, supongamos que \(\phi : {\mathbb Z}_6 \rightarrow S_3\) es un isomorfismo. Sean \(a , b \in S_3\) dos elementos tales que \(ab \neq ba\text{.}\) Como \(\phi\) es un isomorfismo, existen elementos \(m\) y \(n\) en \({\mathbb Z}_6\) tales que
\begin{equation*}
\phi( m ) = a \quad \text{and} \quad \phi( n ) = b.
\end{equation*}
Pero,
\begin{equation*}
ab = \phi(m ) \phi(n) = \phi(m + n) = \phi(n + m) = \phi(n ) \phi(m) = ba,
\end{equation*}
lo que contradice el hecho de que \(a\) y \(b\) no conmutan.
Teorema9.6
Sea \(\phi : G \rightarrow H\) un isomorfismo de grupos. Entonces se cumplen las siguientes proposiciones.
\(\phi^{-1} : H \rightarrow G\) es un isomorfismo.
\(|G| = |H|\text{.}\)
Si \(G\) es abeliano, entonces \(H\) es abeliano.
Si \(G\) es cíclico, entonces \(H\) es cíclico.
Si \(G\) tiene un subgrupo de orden \(n\text{,}\) entonces \(H\) tiene un subgrupo de orden \(n\text{.}\)
Demostración
Las afirmaciones (1) y (2) son consecuencia de que \(\phi\) sea una biyección. Demostraremos (3) y dejaremos el resto del teorema para ser demostrado en los ejercicios.
(3) Supongamos que \(h_1\) y \(h_2\) son elementos de \(H\text{.}\) Como \(\phi\) es sobreyectiva, existen elementos \(g_1, g_2 \in G\) tales que \(\phi(g_1) = h_1\) y \(\phi(g_2) = h_2\text{.}\) Por lo tanto,
\begin{equation*}
h_1 h_2 = \phi(g_1) \phi(g_2) = \phi(g_1 g_2) = \phi(g_2 g_1) = \phi(g_2) \phi(g_1) = h_2 h_1.
\end{equation*}
Estamos ahora en condiciones de caracterizar todos los grupos cíclicos.
Teorema9.7
Todo grupo cíclico de orden infinito es isomorfo a \({\mathbb Z}\text{.}\)
Demostración
Sea \(G\) un grupo cíclico de orden infinito y supongamos que \(a\) es un generador de \(G\text{.}\) Definamos la función \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) como \(\phi : n \mapsto a^n\text{.}\) Entonces
\begin{equation*}
\phi( m+n ) = a^{m+n} = a^m a^n = \phi( m ) \phi( n ).
\end{equation*}
Para mostrar que \(\phi\) es inyectiva, supongamos que \(m\) y \(n\) son dos elementos en \({\mathbb Z}\text{,}\) con \(m \neq n\text{.}\) Podemos suponer que \(m \gt n\text{.}\) Debemos mostrar que \(a^m \neq a^n\text{.}\) Supongamos lo contrario; es decir, \(a^m = a^n\text{.}\) En ese caso \(a^{m - n} = e\text{,}\) con \(m - n \gt 0\text{,}\) lo que contradice el hecho de que \(a\) tiene orden infinito. Nuestra función es sobreyectiva pues todo elemento en \(G\) puede ser escrito como \(a^n\) para algún entero \(n\) y \(\phi(n) = a^n\text{.}\)
Teorema9.8
Si \(G\) es un grupo cíclico de orden \(n\text{,}\) entonces \(G\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_n\text{.}\)
Demostración
Sea \(G\) un grupo cíclico de orden \(n\) generado por \(a\) y defina una función \(\phi : {\mathbb Z}_n \rightarrow G\) como \(\phi : k \mapsto a^k\text{,}\) donde \(0 \leq k \lt n\text{.}\) La demostración de que \(\phi\) es un isomorfismo es uno de los ejercicios al final del capítulo.
Corolario9.9
Si \(G\) es un grupo de orden \(p\text{,}\) donde \(p\) es un número primo, entonces \(G\) es isomorfo a \({\mathbb Z}_p\text{.}\)
Demostración
La demostración es un resultado directo del Corolario 6.12.
El principal objetivo en la teoría de grupos es el de clasificar todos los grupos; sin embargo, tiene sentido considerar que dos grupos isomorfos son en realidad el mismo grupo. Enunciamos este resultado en el siguiente teorema, cuya demostración dejamos coom ejercicio.
Teorema9.10
El isomorfismo de grupos define una relación de equivalencia en la clase de todos los grupos.
Luego, podemos modificar nuestro objetivo de clasificar todos los grupos al de clasificar todos los grupos salvo isomorfismo; es decir, consideraremos que dos grupos son el mismo si son isomorfos.
SubsecciónTeorema de Cayley
¶Cayley demostró que si \(G\) es un grupo, entonces es isomorfo a un grupo de permutaciones de algún conjunto; luego, todo grupo es un grupo de permutaciones. El Teorema de Cayley es lo que llamamos un teorema de representaciones. El objetivo de la teoría de representaciones es encontrar un isomorfismo de algún grupo \(G\) que queramos estudiar a un grupo sobre el que tengamos bastante información, tal como un grupo de permutaciones o de matrices.
Ejemplo9.11
Considere el grupo \({\mathbb Z}_3\text{.}\) La tabla de Cayley para \({\mathbb Z}_3\) es como sigue.
\begin{equation*}
\begin{array}{c|ccc}
+ & 0 & 1 & 2 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{array}
\end{equation*}
La tabla de sumas para \({\mathbb Z}_3\) sugiere que es igual al grupo de permutaciones \(G = \{ (0), (0 1 2), (0 2 1) \}\text{.}\) El isomorfismo acá es
\begin{align*}
0 & \mapsto
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
= (0)\\
1 & \mapsto
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
= (0 1 2)\\
2 & \mapsto
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
= (0 2 1).
\end{align*}
Teorema9.12Cayley
Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.
Demostración
Sea \(G\) un grupo. Debemos encontrar un grupo de permutaciones \(\overline{G}\) que sea isomorfo a \(G\text{.}\) Para cualquier \(g \in G\text{,}\) definamos una función \(\lambda_g : G \rightarrow G\) como \(\lambda_g(a) = ga\text{.}\) Afirmamos que \(\lambda_g\) es una permutación de \(G\text{.}\) Para demostrar que \(\lambda_g\) es 1-1, supongamos que \(\lambda_g(a) = \lambda_g(b)\text{.}\) Entonces
\begin{equation*}
ga =\lambda_g(a) = \lambda_g(b) = gb.
\end{equation*}
Luego, \(a = b\text{.}\) Para demostrar que \(\lambda_g\) es sobre, debemos demostrar que para cada \(a \in G\text{,}\) existe \(b\) tal que \(\lambda_g (b) = a\text{.}\) Sea \(b = g^{-1} a\text{.}\)
Estamos preparados para definir nuestro grupo \(\overline{G}\text{.}\) Sea
\begin{equation*}
\overline{G} = \{ \lambda_g : g \in G \}.
\end{equation*}
Debemos mostrar que \(\overline{G}\) es un grupo con la operación de composición de funciones y encontrar un isomorfismo entre \(G\) y \(\overline{G}\text{.}\) Tenemos la clausura bajo composición de funciones pues
\begin{equation*}
(\lambda_g \circ \lambda_h )(a) = \lambda_g(ha) = gha = \lambda_{gh} (a).
\end{equation*}
Además,
\begin{equation*}
\lambda_e (a) = ea = a
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
(\lambda_{g^{-1}} \circ \lambda_g) (a) = \lambda_{g^{-1}} (ga) = g^{-1} g a = a = \lambda_e (a).
\end{equation*}
Podemos definir un isomorfismo de \(G\) en \(\overline{G}\) como \(\phi : g \mapsto \lambda_g\text{.}\) La operación de grupo se preserva pues
\begin{equation*}
\phi(gh) = \lambda_{gh} = \lambda_g \lambda_h = \phi(g) \phi(h).
\end{equation*}
Es 1-1, pues si \(\phi(g)(a) = \phi(h)(a)\text{,}\) entonces
\begin{equation*}
ga = \lambda_g a = \lambda_h a= ha.
\end{equation*}
Luego, \(g = h\text{.}\) Que \(\phi\) sea sobre sigue del hecho de que \(\phi( g ) = \lambda_g\) para cualquier \(\lambda_g \in \overline{G}\text{.}\)
El isomorfismo \(g \mapsto \lambda_g\) se conoce como la representación regular izquierda de \(G\text{.}\)
