Consideremos el polinomio \(x^3-3x+4\text{.}\) Calcule la máxima factorización de este polinomio sobre cada uno de los siguientes cuerpos: (a) el cuerpo finito \({\mathbb Z}_5\text{,}\) (b) el cuerpo finito de orden 125, (c) \(\mathbb Q\text{,}\) (d) \(\mathbb R\) y (e) \(\mathbb C\text{.}\) Para hacer esto, construya el anillo de polinomio apropiado, construya el polinomio en este anillo y use el método .factor().
“Los polinomios de Conway” son polinomios irreducibles sobre \({\mathbb Z}_p\) que Sage (y otros programas) usa para construir ideales maximales en anillos de polinomio, y por ende anillos cociente que son cuerpos. A grosso modo, son elecciones
canónicas
para cada grado y para cada primo. El comando conway_polynomial(p, n) entrega un polinomio irreducible de grado \(n\) sobre \({\mathbb Z}_p\text{.}\)Ejecute el comando conway_polynomial(5, 4) para obtener un polinomio presuntamente irreducible de grado 4 sobre \({\mathbb Z}_5\text{:}\) \(p = x^{4} + 4x^{2} + 4x + 2\text{.}\) Construya el anillo de polinomios apropiado (i.e., en la indeterminada \(x\)) y verifique que p realmente es un elemento de ese anillo de polinomios.
Primero verifique que \(p\) no tiene factores lineales. La única posibilidad que queda es que p se factorice como producto de dos polinomios cuadráticos sobre \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Use una lista con tres for para crear todos los posibles polinomios cuadráticos sobre \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Ahora use esta lista para crear todos los posibles productos de dos polinomios cuadráticos y compruebe si p está en esta lista.
Puede encontrar más información sobre los polinomios de Conway en el sitio de Frank Lübeck.
Construya un cuerpo finito de orden \(729\) como cociente de un anillo de polinomios por un ideal principal generado con un polinomio de Conway.
Defina los polinomios \(p = x^3 + 2x^2 + 2x + 4\) y \(q = x^4 + 2x^2\) como polinomios con coeficientes enteros. Calcule gcd(p, q) y verifique que el resultado divide tanto a p como a q (simlemente forme la fracción en Sage y vea que se simplifica completamente, o use el método .quo_rem() ).
La Proposición 17.10 dice que existen polinomio \(r(x)\) y \(s(x)\) tales que el máximo común divisor es \(r(x)p(x)+s(x)q(x)\text{,}\) si los coeficientes están en un cuerpo. Como acá tenemos dos polinomios sobre los enteros, investigue los resultados entregados por Sage para el \(\gcd\) extendido, xgcd(p, q). En particular, muestre que la primera componente del resultado es un múltiplo del \(\gcd\text{.}\) Después verifique la propiedad de “combinación lineal”.
Para un anillo de polinomios sobre un cuerpo, todo ideal es principal. Comience con el anillo de polinomios sobre los racionales. Experimente construyendo ideales con dos generadores y vea que Sage los convierte en ideales principales con un solo generador. (Puede obtener este generador con el método .gen() del ideal.) ¿Puede explicar como se calcula este generador?
