Este conjunto de ejercicios es sobre el grupo de unidades mód \(n\text{,}\) \(U(n)\text{,}\) que a veces es cíclico, otras veces no lo es. Existen algunos comandos en Sage que responden muy rápidamente algunas de estas preguntas, pero en lugar de usarlos ahora, use solamente las técnicas básicas descritas. La idea acá es trabajar directamente con los elementos, y listas de elementos, para discernir la estructura de subgrupos de estos grupos.
Las hojas de trabajo de Sage le permiten formar cuadros de textos con una extensa capacidad de formato, incluyendo la posibilidad de usar sintaxis de LaTeX para expresar matemáticas. De manera que si una pregunta requiere de una explicación o un comentario, cree una nueva celda y comuníquese claramente con su audiencia. Continúe esta práctica en las próximas listas de ejercicios.
Ejecute el comando R = Integers(40) para crear el conjunto [0,1,2,...,39] Éste es un grupo con la operación de suma mód \(40\text{,}\) que ignoraremos. En cambio estamos interesados en el subconjunto de los elementos que tienen inverso respecto a la multiplicación mód \(40\text{.}\) Determine el tamaño de este subgrupo ejecutando el comando R.unit_group_order(), y obtenga una lista de estos elementos con R.list_of_elements_of_multiplicative_group().
Puede crear elementos de este grupo coercionando enteros comunes a R, por ejemplo con el comando a = R(7). Esto le dirá a Sage que usted quiere ver a \(7\) como un elemento de \(R\text{,}\) sujeto a las operaciones correspondientes. Determine los elementos del subgrupo cíclico de \(R\) generado por \(7\) en una lista como sigue:
¿Cuál es el orden de \(7\) en \(U(40)\text{?}\)
El grupo \(U(49)\) es cíclico. Usando solamente los comandos de Sage descritos previamente, encuentre un generador de este grupo. Ahora usando solamente teoremas sobre la estructura de grupos cíclicos, describa cada uno de los subgrupos de \(U(49)\) especificando su orden y dando un generador explícito. No repita ninguno de los subgrupos — en otras palabras, presente cada subgrupo exactamente una vez. Puede usar Sage para verificar su trabajo con los subgrupos, pero su respuesta respecto a los subgrupos debe depender exclusivamente de teoremas y debe ser un párrafo bien escrito con una tabla, etc.
El grupo \(U(35)\) no es cíclico. Nuevamente, usando solamente comandos Sage descritos previamente, use cálculos para entregar evidencia irrefutable de esto. ¿Cuántos de los \(16\) subgrupos diferentes de \(U(35)\) puede listar?
Nuevamente, usando solamente los comandos Sage descritos previamente, explore la estructura de \(U(n)\) para varios valores de \(n\) e intente formular una conjetura interesante sobre algunas de las propiedades básicas de este grupo. (Sí, esta es una pregunta muy abierta, pero éste es en definitiva el mayor beneficio de explorar matemáticas usando Sage.)
