Comenzaremos nuestro estudio de estructuras algebraicas investigando conjuntos dotados de una operación que satisfaga ciertos axiomas razonables; es decir, queremos definir una operación en un conjunto de forma de generalizar estructuras familiares como los enteros \({\mathbb Z}\) con la operación única de suma, o matrices invertibles de \(2 \times 2\) con la operación única de multiplicación de matrices. Los enteros y las matrices de \(2 \times 2\text{,}\) junto con sus respectivas operaciones únicas, son ejemplos de estructuras algebraicas conocidas como grupos.

La teoría de grupos ocupa una posición central en matemáticas. La teoría moderna de grupos surgió del intento de encontrar las raíces de un polinomio en términos de sus coeficientes. Los grupos tienen hoy un rol central en áreas tales como teoría de códigos, conteo, y el estudio de simetrías; muchas áreas de la biología, la química, y la física se han visto beneficiadas por la teoría de grupos.