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Capítulo17Polinomios

La mayoría de las personas está razonablemente familiarizada con los polinomios cuando comienza a estudiar álgebra abstracta. Cuando examinamos expresiones polinomiales como

\begin{align*} p(x) & = x^3 -3x +2\\ q(x) & = 3x^2 -6x +5, \end{align*}

tenemos una idea bastante clara de lo que significan \(p(x) + q(x)\) y \(p(x) q(x)\text{.}\) Simplemente sumamos y multiplicamos polinomios como funciones; es decir,

\begin{align*} (p +q)(x) & = p(x) + q(x)\\ & = ( x^3 - 3 x + 2 ) + ( 3 x^2 - 6 x + 5 )\\ & = x^3 + 3 x^2 - 9 x + 7 \end{align*}

y

\begin{align*} (p q)(x) & = p(x) q(x)\\ & = ( x^3 - 3 x + 2 ) ( 3 x^2 - 6 x + 5 )\\ & = 3 x^5 - 6 x^4 - 4 x^3 + 24 x^2 - 27 x + 10. \end{align*}

Probablemente no es una sorpresa que los polinomios forman un anillo. En este capítulo enfatizaremos la estructura algebraica de los polinomios estudiando anillos de polinomios. Podemos demostrar muchos resultados para anillos de polinomio que son similares a los teoremas que demostramos para los enteros. Existen análogos de los números primos, el algoritmo de división y el algoritmo de Euclides para polinomios.