Algebra AbstractaTeoría y Aplicaciones

1

Liste todos los polinomios de grado menor o igual a 3 en \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

2

Calcule cada uno de los siguientes.

1. \((5x^2 + 3x - 4) + (4x^2 - x + 9)\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

2. \((5x^2 + 3x - 4) (4x^2 - x + 9)\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

3. \((7x^3 + 3x^2 - x) + (6x^2 - 8x + 4)\) in \({\mathbb Z}_9\)

4. \((3x^2 + 2x - 4) + (4x^2 + 2)\) in \({\mathbb Z}_5\)

5. \((3x^2 + 2x - 4) (4x^2 + 2)\) in \({\mathbb Z}_5\)

6. \((5x^2 + 3x - 2)^2\) in \({\mathbb Z}_{12}\)

3

Use el algoritmo de división para encontrar \(q(x)\) y \(r(x)\) tales que \(a(x) = q(x) b(x) + r(x)\) con \(\deg r(x) \lt \deg b(x)\) para cada uno de los siguientes pares de polinomios.

1. \(a(x) = 5 x^3 + 6x^2 - 3 x + 4\) and \(b(x) = x - 2\) in \({\mathbb Z}_7[x]\)

2. \(a(x) = 6 x^4 - 2 x^3 + x^2 - 3 x + 1\) and \(b(x) = x^2 + x - 2\) in \({\mathbb Z}_7[x]\)

3. \(a(x) = 4 x^5 - x^3 + x^2 + 4\) and \(b(x) = x^3 - 2\) in \({\mathbb Z}_5[x]\)

4. \(a(x) = x^5 + x^3 -x^2 - x\) and \(b(x) = x^3 + x\) in \({\mathbb Z}_2[x]\)

4

Encuentre el máximo común divisor para cada uno de los siguientes pares \(p(x)\) y \(q(x)\) de polinomios. Si \(d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}\) encuentre dos polinomios \(a(x)\) y \(b(x)\) tales que \(a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}\)

1. \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15\) y \(q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

2. \(p(x) = x^3 + x^2 - x + 1\) y \(q(x) = x^3 + x - 1\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]\)

3. \(p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4\) y \(q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]\)

4. \(p(x) = x^3 - 2 x + 4\) y \(q(x) = 4 x^3 + x + 3\text{,}\) donde \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

5

Encuentre todos los ceros de cada uno de los polinomios siguientes.

1. \(5x^3 + 4x^2 - x + 9\) en \({\mathbb Z}_{12}\)

2. \(3x^3 - 4x^2 - x + 4\) en \({\mathbb Z}_{5}\)

3. \(5x^4 + 2x^2 - 3\) en \({\mathbb Z}_{7}\)

4. \(x^3 + x + 1\) en \({\mathbb Z}_2\)

6

Encuentre todas las unidades en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\)

7

Encuentre una unidad \(p(x)\) en \({\mathbb Z}_4[x]\) tal que \(\deg p(x) \gt 1\text{.}\)

8

¿Cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles sobre \({\mathbb Q}[x]\text{?}\)

1. \(x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4\)

2. \(x^4 - 5x^3 + 3x - 2\)

3. \(3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6\)

4. \(5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15\)

9

Encuentre todos los polinomios irreducibles de grado 2 y 3 en\({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

10

Dé dos factorizaciones diferentes de \(x^2 + x + 8\) en \({\mathbb Z}_{10}[x]\text{.}\)

11

Demuestre o refute: Existe un polinomio \(p(x)\) en \({\mathbb Z}_6[x]\) de grado \(n\) con más de \(n\) ceros distintos.

12

Si \(F\) es un cuerpo, muestre que \(F[x_1, \ldots, x_n]\) es un dominio integral.

13

Muestre que el algoritmo de división no se cumple en \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) ¿Por qué falla?

14

Demuestre o refute: \(x^p + a\) es irreducible para cualquier \(a \in {\mathbb Z}_p\text{,}\) donde \(p\) es primo.

15

Sea \(f(x)\) irreducible en \(F[x]\text{,}\) donde \(F\) es un cuerpo. Si \(f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}\) demuestre que ya sea \(f(x) \mid p(x)\) o \(f(x) \mid q(x)\text{.}\)

16

Supongamos que \(R\) y \(S\) son anillos isomorfos. Demuestre que \(R[x] \cong S[x]\text{.}\)

17

Sea \(F\) un cuerpo y \(a \in F\text{.}\) Si \(p(x) \in F[x]\text{,}\) muestre que \(p(a)\) es el resto obtenido al dividir \(p(x)\) por \(x - a\text{.}\)

18Teorema de la Raíz Racional

Sea

donde \(a_n \neq 0\text{.}\) Demuestre que si \(p(r/s) = 0\text{,}\) donde \(\gcd(r, s) = 1\text{,}\) entonces \(r \mid a_0\) y \(s \mid a_n\text{.}\)

19

Sea \({\mathbb Q}^*\) el grupo multiplicativo de los números racionales positivos. Demuestre que \({\mathbb Q}^*\) es isomorfo a \(( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}\)

20Polinomios Ciclotómicos

El polinomio

se llama polinomio ciclotómico. Muestre que \(\Phi_p(x)\) es irreducible sobre \({\mathbb Q}\) para cualquier primo \(p\text{.}\)

21

Si \(F\) es un cuerpo, muestre que existen infinitos polinomios irreducibles en \(F[x]\text{.}\)

22

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que la multiplicación en \(R[x]\) es conmutativa.

23

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que la multiplicación en \(R[x]\) es distributiva.

24

Demuestre que \(x^p - x\) tiene \(p\) ceros distintos en \({\mathbb Z}_p\text{,}\) para cualquier primo \(p\text{.}\) Concluya que

25

Sea \(F\) un cuerpo y sea \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) en \(F[x]\text{.}\) Defina \(f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\) como la derivada de \(f(x)\text{.}\)

1. Demuestre que

   \begin{equation*} (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x). \end{equation*}

   Concluya que podemos definir un homomorfismo de grupos abelianos \(D : F[x] \rightarrow F[x]\) como \(D(f(x)) = f'(x)\text{.}\)

2. Calcule el núcleo de \(D\) si \(\chr F = 0\text{.}\)

3. Calcule el núcleo de \(D\) si \(\chr F = p\text{.}\)

4. Demuestre que

   \begin{equation*} (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x) g'(x). \end{equation*}

5. Supongamos que es posible factorizar un polinomio \(f(x) \in F[x]\) en factores lineales, digamos

   \begin{equation*} f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n). \end{equation*}

   Demuestre que \(f(x)\) no tiene factores repetidos si y solo si \(f(x)\) y \(f'(x)\) son relativamente primos.

26

Sea \(F\) un cuerpo. Muestre que \(F[x]\) nunca es un cuerpo.

27

Sea \(R\) un dominio integral. Demuestre que \(R[x_1, \ldots, x_n]\) es un dominio integral.

28

Sea \(R\) un anillo conmutativo con identidad. Muestre que \(R[x]\) tiene un subanillo \(R'\) isomorfo a \(R\text{.}\)

29

Sean \(p(x)\) y \(q(x)\) polinomios en \(R[x]\text{,}\) donde \(R\) es un anillo conmutativo con identidad. Demuestre que \(\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}\)