Los enteros mód \(n\) y las simetrías de un triángulo o un rectángulo son ejemplos de grupos. Una operación binaria o ley de composición en un conjunto \(G\) es una función \(G \times G \rightarrow G\) que asigna a cada par \((a,b) \in G \times G\) un único elemento \(a \circ b\text{,}\) o \(ab\) en \(G\text{,}\) llamado composición de \(a\) y \(b\text{.}\) Un grupo \((G, \circ )\) es un conjunto \(G\) junto a una ley de composición \((a,b) \mapsto a \circ b\) que satisface los siguientes axiomas.
La ley de composición es asociativa. Es decir,
\begin{equation*}
(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
\end{equation*}
para \(a, b, c \in G\text{.}\)
Existe un elemento \(e \in G\text{,}\) llamado elemento identidad, tal que para cualquier elemento \(a \in G\)
\begin{equation*}
e \circ a = a \circ e = a.
\end{equation*}
Para cada elemento \(a \in G\text{,}\) existe un elemento inverso en G, denotado por \(a^{-1}\text{,}\) tal que
\begin{equation*}
a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e.
\end{equation*}
Un grupo \(G\) con la propiedad que \(a \circ b = b \circ a\) para todo \(a, b \in G\) se llama abeliano o conmutativo. Grupos que no satisfacen esta propiedad se dicen no abelianos o no conmutativos.
Ejemplo3.8
Los enteros \({\mathbb Z } = \{ \ldots , -1, 0, 1, 2, \ldots \}\) forman un grupo bajo la operación de adición. La operación binaria en dos enteros \(m, n \in {\mathbb Z}\) es simplemente su suma. Como la suma de enteros tiene una notación bien establecida, usaremos el operador \(+\) en lugar de \(\circ\text{;}\) es decir, escribiremos \(m + n\) en lugar de \(m \circ n\text{.}\) La identidad es 0, y el inverso de \(n \in {\mathbb Z}\) se escribe como \(-n\) en lugar de \(n^{-1}\text{.}\) Note que el conjunto de los enteros bajo adición tiene la propiedad adicional de que \(m + n = n + m\) y por lo tanto forma un grupo abeliano.
La mayor parte de las veces escribiremos \(ab\) en lugar de \(a \circ b\text{;}\) sin embargo, si el grupo ya tiene una operación natural, como la suma en los enteros, usaremos aquella operación. Esto es, si estamos sumando dos enteros, aún escribiremos \(m + n\text{,}\) \(-n\) para el inverso, y 0 para la identidad como de costumbre. También escribiremos \(m - n\) en lugar de \(m + (-n)\text{.}\)
Frecuentemente es conveniente describir un grupo en términos de su tabla de adición o de multiplicación. Una tal tabla se llama tabla de Cayley.
Ejemplo3.9
Los enteros mód \(n\) forman un grupo bajo adición módulo \(n\text{.}\) Considere \({\mathbb Z}_5\text{,}\) que consiste de las clases de equivalencia de los enteros 0, 1, 2, 3, y 4. Definimos la operación de grupo en \({\mathbb Z}_5\) por adición módulo 5. Escribimos esta operación binaria en el grupo de forma aditiva, es decir, escribimos \(m + n\text{.}\) El elemento 0 es la identidad del grupo y cada elemento en \({\mathbb Z}_5\) tiene un inverso. Por ejemplo, \(2 + 3 = 3 + 2 = 0\text{.}\) El Cuadro 3.10 es una tabla de Cayley para \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Por la Proposición 3.4, \({\mathbb Z}_n = \{0, 1, \ldots, n-1 \}\) es un grupo bajo la operación binaria de adición mód \(n\text{.}\)
No todo conjunto con una operación binaria es un grupo. Por ejemplo, si tomamos como operación binaria la multiplicación modular en \({\mathbb Z}_n\text{,}\) entonces \({\mathbb Z}_n\) no es un grupo. El elemento 1 actúa como una identidad de grupo pues \(1 \cdot k = k \cdot 1 = k\) para cualquier \(k \in {\mathbb Z}_n\text{;}\) sin embargo, no existe un inverso multiplicativo para \(0\) pues \(0 \cdot k = k \cdot 0 = 0\) para todo \(k\) en \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Incluso si consideramos el conjunto \({\mathbb Z}_n \setminus \{0 \}\text{,}\) aún es posible que no tengamos un grupo. Por ejemplo, \(2 \in {\mathbb Z}_6\) no tiene inverso multiplicativo pues
Por la Proposición 3.4, todo elemento no nulo \(k\) tiene un inverso multiplicativo en \({\mathbb Z}_n\) si \(k\) es relativamente primo con \(n\text{.}\) Denotemos el conjunto de tales elementos en \({\mathbb Z}_n\) por \(U(n)\text{.}\) Entonces \(U(n)\) es un grupo llamado el grupo de unidades de \({\mathbb Z}_n\text{.}\) El Cuadro 3.12 es una tabla de Cayley para el grupo \(U(8)\text{.}\)
Las simetrías de un triángulo equilátero descritas en la Sección 3.1 forman un grupo no abeliano. Como observamos, no es necesariamente cierto que \(\alpha \beta = \beta \alpha\) para dos simetrías \(\alpha\) y \(\beta\text{.}\) Usando el Cuadro 3.7, que es una tabla de Cayley para este grupo, podemos fácilmente verificar que las simetrías de un triángulo equilátero forman efectivamente un grupo. Denotaremos este grupo como \(S_3\) o \(D_3\text{,}\) por razones que explicaremos más adelante.
Ejemplo3.14
Usaremos \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) para denotar al conjunto de todas las matrices de \(2 \times 2\text{.}\) Sea \(GL_2({\mathbb R})\) el subconjunto de \({\mathbb M}_2 ( {\mathbb R})\) que consiste de las matrices invertibles; es decir, una matriz
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\end{equation*}
está en \(GL_2( {\mathbb R})\) si existe una matriz \(A^{-1}\) tal que \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) donde \(I\) la matriz identidad de \(2 \times 2\text{.}\) Que \(A\) tenga una inversa es equivalente a que el determinante de \(A\) no sea cero; es decir, \(\det A = ad - bc \neq 0\text{.}\) El conjunto de las matrices invertibles forma un grupo llamado el grupo lineal general. La identidad del grupo es la matriz identidad.
\begin{equation*}
A^{-1} =
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
El producto de dos matrices invertibles es nuevamente invertible. La multiplicación de matrices es asociativa, satisfaciendo así el otro axioma de grupos. Para las matrices en general no se cumple que \(AB = BA\text{;}\) por lo tanto, \(GL_2({\mathbb R})\) es otro ejemplo de un grupo no abeliano.
con \(i^2 = -1\text{.}\) Entonces las relaciones \(I^2 = J^2 = K^2 = -1\text{,}\) \(IJ=K\text{,}\) \(JK = I\text{,}\) \(KI = J\text{,}\) \(JI = -K\text{,}\) \(KJ = -I\text{,}\) y \(IK = -J\) se satisfacen. El conjunto \(Q_8 = \{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K \}\) es un grupo llamado grupo de cuaterniones. Note que \(Q_8\) es no conmutativo.
Ejemplo3.16
Sea \({\mathbb C}^\ast\)el conjunto de los números complejos no nulos. \({\mathbb C}^\ast\) forma un grupo bajo la operación de multiplicación. La identidad es 1. Si \(z = a+bi\) es un número complejo no nulo, entonces
es el inverso de \(z\text{.}\) Es fácil verificar que se cumplen los demás axiomas de grupo.
Un grupo es finito, o tiene orden finito, si contiene un número finito de elementos; de otro modo, el grupo se dice infinito o que tiene orden infinito. El orden de un grupo finito es el número de elementos que contiene. Si \(G\) es un grupo que contiene \(n\) elementos, escribiremos \(|G| = n\text{.}\) El grupo \({\mathbb Z}_5\) es un grupo finito de orden 5; los enteros \({\mathbb Z}\) forman un grupo infinito bajo la adición, y en ocasiones escribiremos \(|{\mathbb Z}| = \infty\text{.}\)
Supongamos que \(e\) y \(e'\) son ambas identidades en \(G\text{.}\) Entonces \(eg = ge = g\) y \(e'g = ge' = g\) para todo \(g \in G\text{.}\) Debemos demostrar que \(e = e'\text{.}\) Si pensamos en \(e\) como la identidad, entonces \(ee' = e'\text{;}\) pero si \(e'\) es la identidad, entonces \(ee' = e\text{.}\) Combinando estas dos ecuaciones, tenemos \(e = ee' = e'\text{.}\)
Los inversos en un grupo también son únicos. Si \(g'\) y \(g''\) son ambos inversos de un elemento \(g\) en un grupo \(G\text{,}\) entonces \(gg' = g'g = e\) y \(gg'' = g''g = e\text{.}\) Queremos mostrar que \(g' = g''\text{,}\) pero \(g' = g'e = g'(gg'') = (g'g)g'' = eg'' = g''\text{.}\) Resumimos este hecho en la siguiente proposición.
Proposición3.18
Si \(g\) es un elemento en un grupo \(G\text{,}\) entonces el inverso de \(g\text{,}\) denotado por \(g^{-1}\text{,}\) es único.
Proposición3.19
Sea \(G\) un grupo. Si \(a, b \in G\text{,}\) entonces \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)
Sean \(a, b \in G\text{.}\) Entonces \(abb^{-1}a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e\text{.}\) Similarmente, \(b^{-1}a^{-1}ab = e\text{.}\) Por la proposición anterior, los inversos son únicos; luego, \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\text{.}\)
Proposición3.20
Sea \(G\) un grupo. Para cualquier \(a \in G\text{,}\) \((a^{-1})^{-1} = a\text{.}\)
Notemos que \(a^{-1} (a^{-1})^{-1} = e\text{.}\) Por lo tanto, multiplicando ambos lados de esta ecuación por \(a\text{,}\) tenemos
\begin{equation*}
(a^{-1})^{-1} = e (a^{-1})^{-1} = a a^{-1} (a^{-1})^{-1} = ae = a.
\end{equation*}
Tiene sentido escribir ecuaciones con elementos y operaciones de un grupo. Si \(a\) y \(b\) son dos elementos en un grupo \(G\text{,}\) ¿existe un elemento \(x \in G\) tal que \(ax = b\text{?}\) ¿Si tal \(x\) existe, es único? La siguiente proposición entrega una respuesta afirmativa a ambas preguntas.
Proposición3.21
Sea \(G\) un grupo y sean \(a\) y \(b\) dos elementos cualquiera en \(G\text{.}\) Entonces las ecuaciones \(ax = b\) y \(xa = b\) tienen una única solución en \(G\text{.}\)
Supongamos que \(ax = b\text{.}\) Debemos demostrar que tal \(x\) existe. Podemos multiplicar ambos lados de \(ax = b\) por \(a^{-1}\) para encontrar \(x = ex = a^{-1}ax = a^{-1}b\text{.}\)
Para demostrar la unicidad, supongamos que \(x_1\) y \(x_2\) son ambas soluciones de \(ax = b\text{;}\) entonces \(ax_1 = b = ax_2\text{.}\) Luego \(x_1 = a^{-1}ax_1 = a^{-1}ax_2 = x_2\text{.}\) La demostración de la existencia y unicidad de la solución de \(xa = b\) es similar.
Proposición3.22
Si \(G\) es un grupo y \(a, b, c \in G\text{,}\) entonces \(ba = ca\) implica \(b = c\) y \(ab = ac\) implica \(b = c\text{.}\)
Esta proposición nos dice que las leyes de cancelación derecha e izquierda se cumple para grupos. Dejamos la demostración como ejercicio.
Podemos utilizar la notación exponencial en grupos de la forma en que estamos acostumbrados. Si \(G\) es un grupo y \(g \in G\text{,}\) definimos \(g^0 = e\text{.}\) Para \(n \in {\mathbb N}\text{,}\) definimos
En un grupo, se cumplen las reglas usuales de los exponentes; es decir, para todo \(g, h \in G\text{,}\)
\(g^mg^n = g^{m+n}\) para todo \(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
\((g^m)^n = g^{mn}\) para todo \(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
\((gh)^n = (h^{-1}g^{-1})^{-n}\) para todo \(n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Más aún, si \(G\) es abeliano, entonces \((gh)^n = g^nh^n\text{.}\)
Dejaremos la demostración de este teorema como un ejercicio. Note que \((gh)^n \neq g^nh^n\) en general, pues el grupo puede no ser abeliano. Si el grupo es \({\mathbb Z}\) o \({\mathbb Z}_n\text{,}\) escribiremos la operación del grupo de forma aditiva y la operación exponencial como multiplicación; es decir, escribimos \(ng\) en lugar de \(g^n\text{.}\) Las leyes de los exponentes ahora son
\(mg + ng = (m+n)g\) para todo \(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
\(m(ng) = (mn)g\) para todo \(m, n \in {\mathbb Z}\text{;}\)
\(m(g + h) = mg + mh\) para todo \(n \in {\mathbb Z}\text{.}\)
Es importante notar que esto solo es posible dado que \({\mathbb Z}\) y \({\mathbb Z}_n\) son grupos conmutativos.
Si bien la primera definición axiomática clara de grupo recién fue dada a finales del siglo XIX, los métodos de teoría de grupos ya habían sido usados anteriormente en el desarrollo de muchas áreas de las matemáticas, incluyendo la geometría y la teoría de ecuaciones algebraicas.
Joseph-Louis Lagrange usó teoría de grupos en una memoria de 1770–1771 para estudiar métodos de resolución de ecuaciones polinomiales. Más tarde, Évariste Galois (1811–1832) desarrolló con éxito las matemáticas necesarias para determinar exactamente cuáles ecuaciones polinomiales podían ser resueltas en términos de los coeficientes del polinomio en cuestión. La herramienta principal que usó Galois' fue la teoría de grupos.
El estudio de la geometría sufrió cambios revolucionarios en 1872 cuando Felix Klein propuso que los espacios geométricos debían ser estudiados examinandos aquellas propiedades que son invariantes bajo una trasformación del espacio. Sophus Lie, coetáneo de Klein, usó teoría de grupos para estudiar las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. Uno de los primeros libros en tratar la teoría de grupos en forma moderna es el de William Burnside The Theory of Groups of Finite Order [1], publicado originalmente en 1897.
