Sea \(X\) un conjunto y sea \(G\) un grupo. Una acción (izquierda) de \(G\) en \(X\) es una función \(G \times X \rightarrow X\) dada por \((g,x) \mapsto gx\text{,}\) donde
\(ex = x\) para todo \(x \in X\text{;}\)
\((g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)\) para todo \(x \in X\) y todo \(g_1, g_2 \in G\text{.}\)
Con estas condiciones \(X\) se denomina \(G\)-conjunto. Notemos que no pedimos que \(X\) esté relacionado con \(G\) de ninguna forma. Es verdad que cualquier grupo \(G\) actúa en cualquier \(X\) con la acción trivial \((g,x) \mapsto x\text{;}\) pero, las acciones de grupo resultan más interesantes si el conjunto \(X\) tiene alguna relación con \(G\text{.}\)
Sean \(G = GL_2( {\mathbb R} )\) y \(X = {\mathbb R}^2\text{.}\) Entonces \(G\) actúa en \(X\) por multiplicación a la izquierda. Si \(v \in {\mathbb R}^2\) e \(I\) es la matriz identidad, entonces \(Iv = v\text{.}\) Si \(A\) y \(B\) son matrices invertibles de \(2 \times 2\text{,}\) entonces \((AB)v = A(Bv)\) pues la multiplicación de matrices es asociativa.
Sea \(G = D_4\) el grupo de simentría de un cuadrado. Si \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\) es el conjunto de vértices del cuadrado, entonces podemos considerar \(D_4\) como el conjunto de las siguientes permutaciones:
\begin{equation*} \{ (1), (13), (24), (1432), (1234), (12)(34), (14)(23), (13)(24) \}. \end{equation*}Los elementos de \(D_4\) actúan en \(X\) como funciones. La permutación \((13)(24)\) actúa en el vértice 1 enviándolo al vértice 3, en el vértice 2 enviándolo al vértice 4, y así sucesivamente. Es fácil ver que se satisfacen los axiomas de acción de grupo.
En general, si \(X\) es cualquier conjunto y \(G\) es un subgrupo de \(S_X\text{,}\) el grupo de todas las permutaciones actuando en \(X\text{,}\) entonces \(X\) es un \(G\)-conjunto con la acción de grupo
\begin{equation*} (\sigma, x) \mapsto \sigma(x) \end{equation*}para \(\sigma \in G\) y \(x \in X\text{.}\)
Si tomamos \(X = G\text{,}\) entonces cualquier grupo \(G\) actúa en sí mismo por medio de su representación regular izquierda; es decir, \((g,x) \mapsto \lambda_g(x) = gx\text{,}\) donde \(\lambda_g\) es multiplicación a la izquierda:
\begin{gather*} e \cdot x = \lambda_e x = ex = x\\ (gh) \cdot x = \lambda_{gh}x = \lambda_g \lambda_h x = \lambda_g(hx) = g \cdot ( h \cdot x). \end{gather*}Si \(H\) es un subgrupo de \(G\text{,}\) entonces \(G\) es un \(H\)-conjunto bajo multiplicación izquierda por elementos de \(H\text{.}\)
Sea \(G\) un grupo y supongamos que \(X=G\text{.}\) Si \(H\) es un subgrupo de \(G\text{,}\) entonces \(G\) es un \(H\)-conjunto bajo conjugación; es decir, podemos definir una acción de \(H\) en \(G\text{,}\)
\begin{equation*} H \times G \rightarrow G, \end{equation*}via
\begin{equation*} (h,g) \mapsto hgh^{-1} \end{equation*}para \(h \in H\) y \(g \in G\text{.}\) Claramente, se satisface el primer axioma para una acción de grupo. Observando que
\begin{align*} (h_1 h_2, g) & = h_1 h_2 g (h_1 h_2 )^{-1}\\ & = h_1( h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}\\ & = (h_1, (h_2, g) ), \end{align*}vemos que la segunda condición también se satisface.
Sea \(H\) un subgrupo de \(G\) y \({\mathcal L}_H\) el conjunto de clases laterales izquierdas de \(H\text{.}\) El conjunto \({\mathcal L}_H\) es un \(G\)-conjunto bajo la acción
\begin{equation*} (g, xH) \mapsto gxH. \end{equation*}Nuevamente, es fácil ver que se satisface el primer axioma. Como \((g g')xH = g( g'x H)\text{,}\) el segundo axioma también es válido.
Si \(G\) actúa en un conjunto \(X\) y \(x, y \in X\text{,}\) entonces \(x\) se dice \(G\)-equivalente a \(y\) si existe \(g \in G\) tal que \(gx =y\text{.}\) Escribimos \(x \sim_G y\) o \(x \sim y\) si dos elementos son \(G\)-equivalentes.
Sea \(X\) un \(G\)-conjunto. Entonces la \(G\)-equivalencia es una relación de equivalencia en \(X\text{.}\)
La relación \(\sim\) es refleja pues \(ex = x\text{.}\) Supongamos que \(x \sim y\) para \(x, y \in X\text{.}\) Entonces existe \(g\) tal que \(gx = y\text{.}\) En ese caso \(g^{-1}y=x\text{;}\) por lo que \(y \sim x\text{.}\) Para mostrar que la relación es transitiva, supongamos que \(x \sim y\) e \(y \sim z\text{.}\) Entonces existen elementos \(g\) y \(h\) del grupo tale que \(gx = y\) y \(hy= z\text{.}\) Así \(z = hy = (hg)x\text{,}\) y \(x\) es equivalente a \(z\text{.}\)
Si \(X\) es un \(G\)-conjunto, entonces cualquier parte de la partición de \(X\) asociada a la \(G\)-equivalencia se denomina órbita de \(X\) bajo \(G\text{.}\) A la órbita que contiene un elemento \(x\) de \(X\) la denotaremos como \({\mathcal O}_x\text{.}\)
Sea \(G\) el grupo de permutaciones definido por
\begin{equation*} G =\{(1), (1 2 3), (1 3 2), (4 5), (1 2 3)(4 5), (1 3 2)(4 5) \} \end{equation*}y \(X = \{ 1, 2, 3, 4, 5\}\text{.}\) Entonces \(X\) es un \(G\)-conjunto. Las órbitas son \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 =\{1, 2, 3\}\) y \({\mathcal O}_4 = {\mathcal O}_5 = \{4, 5\}\text{.}\)
Ahora supongamos que \(G\) es un grupo actuando en un conjunto \(X\) y sea \(g\) un elemento de \(G\text{.}\) El conjunto de puntos fijos de \(g\) en \(X\text{,}\) denotado por \(X_g\text{,}\) es el conjunto de todos los \(x \in X\) tales que \(gx = x\text{.}\) Podemos también estudiar los elementos \(g\) del grupo que fijan un \(x \in X\) dado. Este conjunto es más que un subconjunto de \(G\text{,}\) es un subgrupo. Este subgrupo se llama el subgrupo estabilizador o subgrupo de isotropía de \(x\text{.}\) Denotaremos el subgrupo estabilizador de \(x\) por \(G_x\text{.}\)
Es importante recordar que \(X_g \subset X\) y \(G_x \subset G\text{.}\)
Sea \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) y supongamos que \(G\) es el grupo de permutaciones dado por las permutaciones
\begin{equation*} \{ (1), (1 2)(3 4 5 6), (3 5)(4 6), (1 2)( 3 6 5 4) \}. \end{equation*}Entonces los conjuntos de puntos fijos de \(X\) bajo la acción de \(G\) son
\begin{gather*} X_{(1)} = X,\\ X_{(3 5)(4 6)} = \{1,2\},\\ X_{(1 2)(3 4 5 6)} = X_{(1 2)(3 6 5 4)} = \emptyset, \end{gather*}y los subgrupos estabilizadores son
\begin{gather*} G_1 = G_2 = \{(1), (3 5)(4 6) \},\\ G_3 = G_4 = G_5 = G_6 = \{(1)\}. \end{gather*}Es fácil ver que \(G_x\) es un subgrupo de \(G\) para cada \(x \in X\text{.}\)
Sea \(G\) un grupo actuando en un conjunto \(X\) y sea \(x \in X\text{.}\) El estabilizador de \(x\text{,}\) \(G_x\text{,}\) es un subgrupo de \(G\text{.}\)
Claramente, \(e \in G_x\) pues la identidad deja fijo cada elemento en el conjunto \(X\text{.}\) Sean \(g, h \in G_x\text{.}\) Entonces \(gx = x\) y \(hx = x\text{.}\) Entonces \((gh)x = g(hx) = gx = x\text{;}\) luego, el producto de dos elementos en \(G_x\) también está en \(G_x\text{.}\) Finalmente, si \(g \in G_x\text{,}\) entonces \(x = ex = (g^{-1}g)x = (g^{-1})gx = g^{-1} x\text{.}\) Así \(g^{-1}\) está en \(G_x\text{.}\)
El número de elementos en el conjunto de puntos fijos de un elemento \(g \in G\) lo denotaremos por \(|X_g|\) y el número de elementos en la órbita de \(x \in X\) lo denotaremos por \(|{\mathcal O}_x|\text{.}\) Los siguientes teoremas establecen la relación entre las órbitas de un elemento \(x \in X\) y las clases laterales izquierdas de \(G_x\) en \(G\text{.}\)
Sea \(G\) un grupo finito y sea \(X\) un \(G\)-conjunto finito. Si \(x \in X\text{,}\) entonces \(|{\mathcal O}_x| = [G:G_x]\text{.}\)
Sabemos que \(|G|/|G_x|\) es el número de clases laterales izquierdas de \(G_x\) en \(G\) por el Teorema de Lagrange (Teorema 6.10). Definiremos una función biyetiva \(\phi\) de la órbita \({\mathcal O}_x\) de \(x\) al conjunto de clases laterales izquierdas \({\mathcal L}_{G_x}\) de \(G_x\) en \(G\text{.}\) Sea \(y \in {\mathcal O}_x\text{.}\) Entonces existe \(g\) en \(G\) tal que \(g x = y\text{.}\) Definamos \(\phi\) de forma que \(\phi( y ) = g G_x\text{.}\) Para mostrar que \(\phi\) es 1-1, supongamos que \(\phi(y_1) = \phi(y_2)\text{.}\) Entonces
\begin{equation*} \phi(y_1) = g_1 G_x = g_2 G_x = \phi(y_2), \end{equation*}donde \(g_1 x = y_1\) y \(g_2 x = y_2\text{.}\) Como \(g_1 G_x = g_2 G_x\text{,}\) existe \(g \in G_x\) tal que \(g_2 = g_1 g\text{,}\)
\begin{equation*} y_2 = g_2 x = g_1 g x = g_1 x = y_1; \end{equation*}por lo tanto, la función \(\phi\) es 1-1. Finalmente, debemos mostrar que \(\phi\) es epiyectiva. Sea \(g G_x\) una clase lateral izquierda. Si \(g x = y\text{,}\) entonces \(\phi(y) = g G_x\text{.}\)
