Sea \(G\) un grupo y \(H\) un subgrupo de \(G\text{.}\) Defina una clase lateral izquierda de \(H\) con representante \(g \in G\) como el conjunto
\begin{equation*} gH = \{ gh : h \in H \}. \end{equation*}Las clases laterales derechas pueden ser definidas similiarmente como
\begin{equation*} Hg = \{ hg : h \in H \}. \end{equation*}Si las clases laterales izquierda y derecha coinciden o si es claro del contexto a qué tipo de clases laterales nos estamos refiriendo, diremos clase lateral sin especificar izquierda o derecha.
Sea \(H\) el subgrupo de \({\mathbb Z}_6\) que consiste de los elementos 0 y 3. Las clases laterales son
\begin{gather*} 0 + H = 3 + H = \{ 0, 3 \}\\ 1 + H = 4 + H = \{ 1, 4 \}\\ 2 + H = 5 + H = \{ 2, 5 \}. \end{gather*}Las clases laterales de subgrupos de \({\mathbb Z}\) y \({\mathbb Z}_n\) siempre las escribiremos con la notación aditiva que hemos usado acá. En un grupo conmutativo, las clases laterales izquierdas y derechas son siempre idénticas.
Sea \(H\) el subgrupo de \(S_3\) definido por las permutaciones \(\{(1), (123), (132) \}\text{.}\) Las clases laterales izquierdas de \(H\) son
\begin{gather*} (1)H = (1 2 3)H = (132)H = \{(1), (1 23), (132) \}\\ (1 2)H = (1 3)H = (2 3)H = \{ (1 2), (1 3), (2 3) \}. \end{gather*}Las clases laterales derechas de \(H\) son exactamente las mismas que las clases laterales izquierdas:
\begin{gather*} H(1) = H(1 2 3) = H(132) = \{(1), (1 23), (132) \}\\ H(1 2) = H(1 3) = H(2 3) = \{ (1 2), (1 3), (2 3) \}. \end{gather*}No siempre es el caso que una clase lateral derecha sea igual a una clase lateral izquierda. Sea \(K\) el subgrupo de \(S_3\) definido por las permutaciones \(\{(1), (1 2)\}\text{.}\) Entonces las clases laterales izquierdas de \(K\) son
\begin{gather*} (1)K = (1 2)K = \{(1), (1 2)\}\\ (1 3)K = (1 2 3)K = \{(1 3), (1 2 3)\}\\ (2 3)K = (1 3 2)K = \{(2 3), (1 3 2)\}; \end{gather*}pero, las clases laterales derechas de \(K\) son
\begin{gather*} K(1) = K(1 2) = \{(1), (1 2)\}\\ K(1 3) = K(1 3 2) = \{(1 3), (1 3 2)\}\\ K(2 3) = K(1 2 3) = \{(2 3), (1 2 3)\}. \end{gather*}El siguiente lema es bastante útil al tratar con clases laterales. (Dejamos su demostración como ejercicio.)
Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \(G\) y supongamos que \(g_1, g_2 \in G\text{.}\) Las siguientes condiciones son equivalentes.
\(g_1 H = g_2 H\text{;}\)
\(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{;}\)
\(g_1 H \subset g_2 H\text{;}\)
\(g_2 \in g_1 H\text{;}\)
\(g_1^{-1} g_2 \in H\text{.}\)
En todos los ejemplos que hemos visto, las clases laterales de un subgrupo \(H\) particionan el grupo mayor \(G\text{.}\) El siguiente teorema dice que esto siempre será el caso.
Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \(G\text{.}\) Entonces las clases laterales izquierdas de \(H\) en \(G\) particionan \(G\text{.}\) Es decir, el grupo \(G\) es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de \(H\) en \(G\text{.}\)
Sean \(g_1 H\) y \(g_2 H\) dos clases laterales de \(H\) en \(G\text{.}\) Debemos mostrar que ya sea \(g_1 H \cap g_2 H = \emptyset\) o \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Supongamos que \(g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset\) y \(a \in g_1 H \cap g_2 H\text{.}\) Entonces por la definición de clase lateral izquierda, \(a = g_1 h_1 = g_2 h_2\) para ciertos elementos \(h_1\) y \(h_2\) en \(H\text{.}\) Luego, \(g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}\) y \(g_1 \in g_2 H\text{.}\) Por el Lema 6.3, \(g_1 H = g_2 H\text{.}\)
No hay nada especial en este teorema respecto a clases laterales izquierdas. Las clases laterales derechas también particionan \(G\text{;}\) la demostración de este hecho es exactamente la misma que para clases laterales izquierdas excepto que todas las multiplicaciones se deben hacer al lado opuesto de \(H\text{.}\)
Sea \(G\) un grupo y \(H\) un subgrupo de \(G\text{.}\) Se define el índice índice de \(H\) en \(G\) como el número de clases laterales izquierdas de \(H\) en \(G\text{.}\) Denotaremos este índice por \([G:H]\text{.}\)
Sea \(G= {\mathbb Z}_6\) y sea \(H = \{ 0, 3 \}\text{.}\) Entonces \([G:H] = 3\text{.}\)
Supongamos que \(G= S_3\text{,}\) \(H = \{ (1),(123), (132) \}\text{,}\) y \(K= \{ (1), (12) \}\text{.}\) Entonces \([G:H] = 2\) y \([G:K] = 3\text{.}\)
Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \(G\text{.}\) El número de clases laterales izquierdas de \(H\) en \(G\) es el mismo que el número de clases laterales derechas de \(H\) en \(G\text{.}\)
Sean \({\mathcal L}_H\) y \({\mathcal R}_H\) los conjuntos de clases laterales izquierdas y derechas respectivamente de \(H\) en \(G\text{.}\) Si podemos definir una función biyectiva \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\text{,}\) entonces habremos demostrado el teorema. Si \(gH \in {\mathcal L}_H\text{,}\) sea \(\phi( gH ) = Hg^{-1}\text{.}\) Por el Lema 6.3, la función \(\phi\) está bien definida; es decir, si \(g_1 H = g_2 H\text{,}\) entonces \(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{.}\) Para demostrar que \(\phi\) es 1-1, supongamos que
\begin{equation*} H g_1^{-1} = \phi( g_1 H ) = \phi( g_2 H ) = H g_2^{-1}. \end{equation*}Nuevamente por el Lema 6.3, \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) La función \(\phi\) es sobre pues \(\phi(g^{-1} H ) = H g\text{.}\)
