Escriba las siguientes permutaciones en notación cíclica.
Escriba cada una de las siguientes como producto de ciclos disjuntos.
\((1345)(234)\)
\((12)(1253)\)
\((143)(23)(24)\)
\((1423)(34)(56)(1324)\)
\((1254)(13)(25)\)
\((1254) (13)(25)^2\)
\((1254)^{-1} (123)(45) (1254)\)
\((1254)^2 (123)(45)\)
\((123)(45) (1254)^{-2}\)
\((1254)^{100}\)
\(|(1254)|\)
\(|(1254)^2|\)
\((12)^{-1}\)
\((12537)^{-1}\)
\([(12)(34)(12)(47)]^{-1}\)
\([(1235)(467)]^{-1}\)
Exprese las siguientes permutaciones como producto de transposiciones e identifíquelas como pares o impares.
\((14356)\)
\((156)(234)\)
\((1426)(142)\)
\((17254)(1423)(154632)\)
\((142637)\)
Encuentre \((a_1, a_2, \ldots, a_n)^{-1}\text{.}\)
Liste todos los subgrupos de \(S_4\text{.}\) Encuentre cada uno de los siguientes conjuntos.
\(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3 \}\)
\(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(2) = 2 \}\)
\(\{ \sigma \in S_4 : \sigma(1) = 3\) and \(\sigma(2) = 2 \}\)
¿Es alguno de estos conjuntos un subgrupo de \(S_4\text{?}\)
Encuentre todos los subgrupos de \(A_4\text{.}\) ¿Cuál es el orden de cada uno de ellos?
Encuentre todos los posibles órdenes de elementos en \(S_7\) y en \(A_7\text{.}\)
Muestre que \(A_{10}\) contiene un elemento de orden 15.
¿Contiene \(A_8\) un elemento de orden 26?
Encuentre un elemento de orden maximal en \(S_n\) para \(n = 3, \ldots, 10\text{.}\)
¿Cuáles son las posibles estructuras de ciclos de los elementos de \(A_5\text{?}\) ¿Y de \(A_6\text{?}\)
Sea \(\sigma \in S_n\) un elemento de orden \(n\text{.}\) Muestre que para todos los enteros \(i\) y \(j\text{,}\) \(\sigma^i = \sigma^j\) si y solo si \(i \equiv j \pmod{n}\text{.}\)
Sea \(\sigma = \sigma_1 \cdots \sigma_m \in S_n\) el producto disjunto de ciclos. Demuestre que el orden de \(\sigma\) es el mínimo común múltiplo de los largos de los ciclos \(\sigma_1, \ldots, \sigma_m\text{.}\)
Usando notación cíclica, liste los elementos en \(D_5\text{.}\) ¿Cuáles son \(r\) y \(s\text{?}\) Escriba todo elemento como producto de \(r\) y \(s\text{.}\)
Si las diagonales de un cubo están etiquetadas como en la Figura 5.26, ¿a qué movimiento del cubo corresponde la permutación \((12)(34)\text{?}\) ¿Y las otras permutaciones de las diagonales?
Encuentre el grupo de movimientos rígidos de un tetrahedro. Muestre que este es el mismo grupo que \(A_4\text{.}\)
Demuestre que \(S_n\) es no abeliano para \(n \geq 3\text{.}\)
Muestre que \(A_n\) es no abeliano para \(n \geq 4\text{.}\)
Demuestre que \(D_n\) es no abeliano para \(n \geq 3\text{.}\)
Sea \(\sigma \in S_n\) un ciclo. Demuestre que \(\sigma\) puede ser escrito como el producto de a lo más \(n-1\) transposiciones.
Sea \(\sigma \in S_n\text{.}\) Si \(\sigma\) no es un ciclo, demuestre que \(\sigma\) puede ser escrita como el producto de a lo más \(n-2\) transposiciones.
Si \(\sigma\) puede ser expresada como un producto de un número par de transposiciones, muestre que cualquier otro producto de transposiciones que sea igual a \(\sigma\) también debe contener un número impar de estas.
Si \(\sigma\) es un ciclo de largo impar, demuestre que \(\sigma^2\) también es un ciclo.
Muestre que un 3-ciclo es una permutación par.
Demuestre que en \(A_n\) con \(n \geq 3\text{,}\) culaquier permutación es un producto de ciclos de largo 3.
Demuestre que todo elemento en \(S_n\) puede ser escrito como un producto finito de las siguientes permutaciones.
\((1 2), (13), \ldots, (1n)\)
\((1 2), (23), \ldots, (n- 1,n)\)
\((12), (1 2 \ldots n )\)
Sea \(G\) un grupo y sea \(\lambda_g : G \rightarrow G\) una función definida por \(\lambda_g(a) = g a\text{.}\) Demuestre que \(\lambda_g\) es una permutación de \(G\text{.}\)
Demuestre que existen \(n!\) permutaciones de un conjunto con \(n\) elementos.
Recuerde que el centro de un grupo \(G\) es
\begin{equation*} Z(G) = \{ g \in G : gx = xg \text{ para todo } x \in G \}. \end{equation*}Encuentre el centro de \(D_8\text{.}\) ¿Y el centro de \(D_{10}\text{?}\) ¿Cuál es el centro de \(D_n\text{?}\)
Sea \(\tau = (a_1, a_2, \ldots, a_k)\) un ciclo de largo \(k\text{.}\)
Demuestre que si \(\sigma\) es cualquier permutación, entonces
\begin{equation*} \sigma \tau \sigma^{-1 } = ( \sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_k)) \end{equation*}es un ciclo de largo \(k\text{.}\)
Sea \(\mu\) un ciclo de largo \(k\text{.}\) Demuestre que existe una permutación \(\sigma\) tal que \(\sigma \tau \sigma^{-1 } = \mu\text{.}\)
Para \(\alpha\) y \(\beta\) en \(S_n\text{,}\) defina \(\alpha \sim \beta\) si existe \(\sigma \in S_n\) tal que \(\sigma \alpha \sigma^{-1} = \beta\text{.}\) Muestre que \(\sim\) es una relación de equivalencia en \(S_n\text{.}\)
Sea \(\sigma \in S_X\text{.}\) Si \(\sigma^n(x) = y\text{,}\) diremos que \(x \sim y\text{.}\)
Muestre que \(\sim\) es una relación de equivalencia en \(X\text{.}\)
Si \(\sigma \in A_n\) y \(\tau \in S_n\text{,}\) muestre que \(\tau^{-1} \sigma \tau \in A_n\text{.}\)
Defina la órbita de \(x \in X\) bajo \(\sigma \in S_X\) como el conjunto
\begin{equation*} {\mathcal O}_{x, \sigma} = \{ y : x \sim y \}. \end{equation*}Calcule las órbitas de cada uno de los siguientes elementos en \(S_5\text{:}\)
\begin{align*} \alpha & = (1254)\\ \beta & = (123)(45)\\ \gamma & = (13)(25). \end{align*}Si \({\mathcal O}_{x, \sigma} \cap {\mathcal O}_{y, \sigma} \neq \emptyset\text{,}\) demuestre que \({\mathcal O}_{x, \sigma} = {\mathcal O}_{y, \sigma}\text{.}\) Las órbitas bajo una permutación \(\sigma\) son las clases de equivalencia correspondientes a la relación \(\sim\text{.}\)
Un subgrupo \(H\) de \(S_X\) es transitivo si para cada \(x, y \in X\text{,}\) existe un \(\sigma \in H\) tal que \(\sigma(x) = y\text{.}\) Demuestre que \(\langle \sigma \rangle\) es transitivo si y solo si \({\mathcal O}_{x, \sigma} = X\) para algún \(x \in X\text{.}\)
Sea \(\alpha \in S_n\) con \(n \geq 3\text{.}\) Si \(\alpha \beta = \beta \alpha\) para todo \(\beta \in S_n\text{,}\) demuestre que \(\alpha\) debe ser la permutación identidad; luego, el centro de \(S_n\) es el subgrupo trivial.
Si \(\alpha\) es par, demuestre que \(\alpha^{-1}\) también es par. ¿Hay un resultado análogo si \(\alpha\) es impar?
Muestre que \(\alpha^{-1} \beta^{-1} \alpha \beta\) es par para todo \(\alpha, \beta \in S_n\text{.}\)
Sean \(r\) y \(s\) los elementos en \(D_n\) descritos en el Teorema 5.23.
Muestre que \(srs = r^{-1}\text{.}\)
Muestre que \(r^k s = s r^{-k}\) en \(D_n\text{.}\)
Demuestre que el orden de \(r^k \in D_n\) es \(n / \gcd(k,n)\text{.}\)
