Sea \(F\) un cuerpo y \(p(x)\) un polinomio no constante en \(F[x]\text{.}\) Ya sabemos que podemos encontrar una extensión de cuerpos de \(F\) que contiene una raíz de \(p(x)\text{.}\) Sin embargo, quisiéramos saber si existe una extensión \(E\) de \(F\) que contenga todas las raíces de \(p(x)\text{.}\) En otras palabras, ¿podemos encontrar una extensión de cuerpos de \(F\) tal que \(p(x)\) se fatoriza como productos de polinomios lineales? ¿Cuál es la “menor” extensión que contiene todas las raíces de \(p(x)\text{?}\)
Sea \(F\) un cuerpo y \(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) un polinomio no constante en \(F[x]\text{.}\) Una extensión de cuerpos \(E\) de \(F\) es un cuerpo de descomposición de \(p(x)\) si existen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) en \(E\) tales que \(E = F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n )\) y
\begin{equation*} p(x) = ( x - \alpha_1 )(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n). \end{equation*}Un polinomio \(p(x) \in F[x]\) se descompone en \(E\) si es producto de factores lineales en \(E[x]\text{.}\)
Sea \(p(x) = x^4 + 2x^2 - 8\) en \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Entonces \(p(x)\) tiene factores irreducibles \(x^2 -2\) y \(x^2 + 4\text{.}\) Por lo tanto, el cuerpo \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i )\) es un cuerpo de descomposición para \(p(x)\text{.}\)
Sea \(p(x) = x^3 -3\) en \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Entonces \(p(x)\) tiene una raíz en el cuerpo \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}\) Sin embargo, este cuerpo no es un cuerpo de descomposición para \(p(x)\) pues las raíces cúbicas complejas de 3,
\begin{equation*} \frac{ -\sqrt[3]{3} \pm (\sqrt[6]{3}\, )^5 i }{2}, \end{equation*}no están en \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, )\text{.}\)
Sea \(p(x) \in F[x]\) un polinomio no constante. Entonces hay un cuerpo de descomposición \(E\) para \(p(x)\text{.}\)
Procederemos por inducción sobre el grado de \(p(x)\text{.}\) Si \(\deg p(x) = 1\text{,}\) entonces \(p(x)\) es un polinomio lineal y \(E = F\text{.}\) Supongamos que el teorema es cierto para todos los polinomios de grado \(k\) con \(1 \leq k \lt n\) y sea \(\deg p(x) = n\text{.}\) Podemos suponer que \(p(x)\) es irreducible; de lo contrario, por la hipótesis de inducción, estamos listos. Por el Teorema 21.5, hay un cuerpo \(K\) tal que \(p(x)\) tiene una raíz \(\alpha_1\) en \(K\text{.}\) Luego, \(p(x) = (x - \alpha_1)q(x)\text{,}\) con \(q(x) \in K[x]\text{.}\) Como \(\deg q(x) = n -1\text{,}\) hay un cuerpo de descomposición \(E \supset K\) para \(q(x)\) que contiene los ceros \(\alpha_2, \ldots, \alpha_n\) de \(p(x)\) por la hipótesis de inducción. Por lo tanto,
\begin{equation*} E = K(\alpha_2, \ldots, \alpha_n) = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \end{equation*}es un cuerpo de descomposición para \(p(x)\text{.}\)
Surge ahora la pregunta sobre la unicidad del cuerpo de descomposición. Esta pregunta tiene respuesta afirmativa. Dados dos cuerpos de descomposición \(K\) y \(L\) de un polinomio \(p(x) \in F[x]\text{,}\) hay un isomorfismo de cuerpos \(\phi : K \rightarrow L\) que fija \(F\text{.}\) Para demostrar este resultado, comenzaremos con un lema.
Sea \(\phi : E \rightarrow F\) un isomorfismo de cuerpos. Sea \(K\) una extensión de cuerpos de \(E\) y \(\alpha \in K\) algebraico sobre \(E\) con polinomio minimal \(p(x)\text{.}\) Supongamos que \(L\) es una extensión de cuerpos de \(F\) tal que \(\beta\) es raíz del polinomio en \(F[x]\) obtenido a partir de \(p(x)\) como imagen por \(\phi\text{.}\) Entonces \(\phi\) se extiende a un único isomorfismo \(\overline{\phi} : E( \alpha ) \rightarrow F( \beta )\) tal que \(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) y \(\overline{\phi}\) coincide con \(\phi\) en \(E\text{.}\)
Si \(p(x)\) tiene grado \(n\text{,}\) entonces por el Teorema 21.13 podemos escribir cualquier elemento en \(E( \alpha )\) como combinación lineal de \(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}\text{.}\) Por lo tanto, el isomorfismo que buscamos debe ser
\begin{equation*} \overline{\phi}( a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1}) = \phi(a_0) + \phi(a_1) \beta + \cdots + \phi(a_{n - 1}) \beta^{n - 1}, \end{equation*}donde
\begin{equation*} a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1} \end{equation*}es un elemento en \(E(\alpha)\text{.}\) El hecho de que \(\overline{\phi}\) sea un isomorfismo se podría verificar de forma directa; sin embargo, es más fácil notar que \(\overline{\phi}\) es una composición de funciones que ya sabemos que son homomorfismos.
Podemos extender \(\phi\) a un isomorfismo de \(E[x]\) a \(F[x]\text{,}\) que también denotaremos por \(\phi\text{,}\) haciendo
\begin{equation*} \phi( a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n ) = \phi( a_0 ) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n. \end{equation*}Esta extensión coincide con el isomorfismo original \(\phi : E \rightarrow F\text{,}\) pues los polinomios constantes son enviados a polinomios constantes. Por hipótesis, \(\phi(p(x)) = q(x)\text{;}\) luego, \(\phi\) envía \(\langle p(x) \rangle\) en \(\langle q(x) \rangle\text{.}\) Por lo tanto, tenemos un isomorfismo \(\psi : E[x] / \langle p(x) \rangle \rightarrow F[x]/\langle q(x) \rangle\text{.}\) Por la Proposición 21.12, tenemos isomorfismos \(\sigma: E[x]/\langle p(x) \rangle \rightarrow E(\alpha)\) y \(\tau : F[x]/\langle q(x) \rangle \rightarrow F( \beta )\text{,}\) definidos por evaluación en \(\alpha\) y \(\beta\text{,}\) respectivamente. Por lo tanto, \(\overline{\phi} = \tau \psi \sigma^{-1}\) es el isomorfismo requerido.
Dejamos la demostración de la unicidad como ejercicio.
Sea \(\phi : E \rightarrow F\) un isomorfismo de cuerpos y sea \(p(x)\) un polinomio no constante en \(E[x]\) y \(q(x)\) el correspondiente polinomio en \(F[x]\) bajo el isomorfismo. Si \(K\) es un cuerpo de descomposición para \(p(x)\) y \(L\) es un cuerpo de descomposición para \(q(x)\text{,}\) entonces \(\phi\) se extiende a un isomorfismo \(\psi : K \rightarrow L\text{.}\)
Procederemos por inducción en el grado de \(p(x)\text{.}\) Podemos suponer que \(p(x)\) es irreducible sobre \(E\text{.}\) Por lo tanto, \(q(x)\) también es irreducible sobre \(F\text{.}\) Si \(\deg p(x) = 1\text{,}\) entonces por la definición de cuerpo de descomposición, \(K = E\) y \(L = F\) y no hay nada que demostrar.
Supongamos que el teorema vale para todos los polinomios de grado menor a \(n\text{.}\) Como \(K\) es un cuerpo de descomposición para \(p(x)\text{,}\) todas la raíces de \(p(x)\) están en \(K\text{.}\) Digamos que \(\alpha\) es una de esas raíces, tal que \(E \subset E( \alpha ) \subset K\text{.}\) De forma similar, podemos encontrar una raíz \(\beta\) de \(q(x)\) en \(L\) tal que \(F \subset F( \beta) \subset L\text{.}\) Por el Lema 21.32, hay un isomorfismo \(\overline{\phi} : E(\alpha ) \rightarrow F( \beta)\) tal que \(\overline{\phi}( \alpha ) = \beta\) y \(\overline{\phi}\) coincide con \(\phi\) en \(E\text{.}\)
Escribamos ahora \(p(x) = (x - \alpha ) f(x)\) y \(q(x) = ( x - \beta) g(x)\text{,}\) donde los grados de \(f(x)\) y \(g(x)\) son menores a los grados de \(p(x)\) y \(q(x)\text{,}\) respectivamente. La extensión \(K\) es un cuerpo de descomposición para \(f(x)\) sobre \(E( \alpha)\text{,}\) y \(L\) es un cuerpo de descomposición para \(g(x)\) sobre \(F( \beta )\text{.}\) Por la hipótesis de inducción hay un isomorfismo \(\psi : K \rightarrow L\) tal que \(\psi\) coincide con \(\overline{\phi}\) en \(E( \alpha)\text{.}\) Luego, hay un isomorfismo \(\psi : K \rightarrow L\) tal que \(\psi\) coincide con \(\phi\) en \(E\text{.}\)
Sea \(p(x)\) un polinomio en \(F[x]\text{.}\) Entonces hay un cuerpo de descomposición \(K\) para \(p(x)\) que es único salvo isomorfismo.
