Con frecuencia un subgrupo dependerá exclusivamente de un elemento de un grupo; es decir, el conocimiento de ese elemento en particular nos permitirá calcular cualquier elemento del subgrupo.
Ejemplo4.1
Supongamos que escogemos \(3 \in {\mathbb Z}\) y consideremos todos los múltiplos (tanto positivos como negativos) de 3. Como conjunto, tenemos
Es fácil ver que \(3 {\mathbb Z}\) es un subgrupo de los enteros. Este subgrupo está completamente determinado por el elemento 3 pues podemos obtener todos los otros elementos del grupo tomando los múltiplos de 3. Todo elemento en el subgrupo es “generado” por 3.
Ejemplo4.2
Si \(H = \{ 2^n : n \in {\mathbb Z} \}\text{,}\) entonces \(H\) es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números racionales no nulos, \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Si \(a = 2^m\) y \(b = 2^n\) están en \(H\text{,}\) entonces \(ab^{-1} = 2^m 2^{-n} = 2^{m-n}\) también está en \(H\text{.}\) Por la Proposición 3.31, \(H\) es un subgrupo de \({\mathbb Q}^*\) determinada por el elemento 2.
Teorema4.3
Sea \(G\) un grupo y sea \(a\) un elemento en \(G\text{.}\) Entonces el conjunto
\begin{equation*}
\langle a \rangle = \{ a^k : k \in {\mathbb Z} \}
\end{equation*}
es un subgrupo de \(G\text{.}\) Más aún, \(\langle a \rangle\) es el menor subgrupo de \(G\) que contiene a \(a\text{.}\)
La identidad está en \(\langle a \rangle \) pues \(a^0 = e\text{.}\) Si \(g\) y \(h\) son dos elementos cualquiera en \(\langle a \rangle \text{,}\) entonces por la definición de \(\langle a \rangle\) podemos escribir \(g = a^m\) y \(h = a^n\) con \(m\) y \(n\) enteros. Así \(gh = a^m a^n = a^{m+n}\) está nuevamente en \(\langle a \rangle \text{.}\) Finalmente, si \(g = a^n\) está en \(\langle a \rangle \text{,}\) entonces el inverso \(g^{-1} = a^{-n}\) también está en \(\langle a \rangle \text{.}\) Claramente, cualquier subgrupo \(H\) de \(G\) que contenga \(a\) debe contener todas las potencias de \(a\) por clausura; luego, \(H\) contiene a \(\langle a \rangle \text{.}\) Por lo tanto, \(\langle a \rangle \) es el menor subgrupo de \(G\) que contiene a \(a\text{.}\)
Nota4.4
Si usamos la notación “+”, como en el caso de los enteros con la operación de suma, escribimos \(\langle a \rangle = \{ na : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)
Para \(a \in G\text{,}\) llamamos a \(\langle a \rangle \) el subgrupo cíclico generado por \(a\text{.}\) Si \(G\) contiene algún elemento \(a\) tal que \(G = \langle a \rangle \text{,}\) entonces \(G\) es un grupo cíclico. En ese caso \(a\) es un generador de \(G\text{.}\) Si \(a\) es un elemento de un grupo \(G\text{,}\) definimos el orden de \(a\) como el menor entero positivo \(n\) tal que \(a^n= e\text{,}\) y escribimos \(|a| = n\text{.}\) Si no hay tal entero \(n\text{,}\) decimos que el orden de \(a\) es infinito y escribimos \(|a| = \infty\) para denotar el orden de \(a\text{.}\)
Ejemplo4.5
Note que un grupo cíclico puede tener más que un generador. Tanto 1 como 5 generan \({\mathbb Z}_6\text{;}\) por lo tanto, \({\mathbb Z}_6\) es un grupo cíclico. No todo elemento en un grupo cíclico es un generador del grupo. El orden de \(2 \in {\mathbb Z}_6\) es 3. El subgrupo cíclico generado por 2 es \(\langle 2 \rangle = \{ 0, 2, 4 \}\text{.}\)
Los grupos \({\mathbb Z}\) y \({\mathbb Z}_n\) son grupos cíclicos. Los elementos 1 y \(-1\) son generadores para \({\mathbb Z}\text{.}\) Siempre podemos generar \({\mathbb Z}_n\) con 1 pero puede haber otros generadores de \({\mathbb Z}_n\text{,}\) como en el caso de \({\mathbb Z}_6\text{.}\)
Ejemplo4.6
El grupo de unidades, \(U(9)\text{,}\) en \({\mathbb Z}_9\) es un grupo cíclico. Como conjunto, \(U(9)\) es \(\{ 1, 2, 4, 5, 7, 8 \}\text{.}\) El elemento 2 es un generador para \(U(9)\) pues
No todo grupo es un grupo cíclico. Considere el grupo de simetrías de un triángulo equilátero \(S_3\text{.}\) La tabla de multiplicación para este grupo es la Tabla 3.7. Los subgrupos de \(S_3\) se muestran en la Figura 4.8. Note que todo subgrupo propio es cíclico; sin embargo, ningún elemento por si solo genera el grupo completo.
Sea \(G\) un grupo cíclico y sea \(a \in G\) un generador para \(G\text{.}\) Si \(g\) y \(h\) están en \(G\text{,}\) entonces pueden ser escritos como potencias de \(a\text{,}\) digamos \(g = a^r\) y \(h = a^s\text{.}\) Como
\begin{equation*}
g h = a^r a^s = a^{r+s} = a^{s+r} = a^s a^r = h g,
\end{equation*}
Podemos hacer algunas preguntas interesantes sobre subgrupos cíclicos de un grupo y sobre subgrupos de un grupo cíclico. Si \(G\) es un grupo, qué subgrupos de \(G\) son cíclicos? Si \(G\) es un grupo cíclico, que tipo de subgrupos tiene \(G\text{?}\)
Las principales herramientas usadas en esta demostración son el algoritmo de división y el principio del buen orden. Sea \(G\) un grupo cíclico generado por \(a\) y supongamos que \(H\) es un subgrupo de \(G\text{.}\) Si \(H = \{ e \}\text{,}\) entonces \(H\) es cíclico trivialmente. Supongamos que \(H\) contiene algún otro elemento \(g\) distinto de la identidad. Entonces \(g\) puede ser escrito como \(a^n\) para algún entero \(n\text{.}\) Como \(H\) es un subgrupo, \(g^{-1} = a^{-n}\) también debe estar en \(H\text{.}\) Como \(n\) o \(-n\) es positivo, podemos suponer que \(H\) contiene potencias positivas de \(a\) y que \(n \gt 0\text{.}\) Sea \(m\) el menor número natural tal que \(a^m \in H\text{.}\) Tal \(m\) existe por por el principio del buen orden.
Afirmamos que \(h = a^m\) es un generador para \(H\text{.}\) Debemos demostrar que todo \(h' \in H\) puede ser escrito como una potencia de \(h\text{.}\) Como \(h' \in H\) y \(H\) es un subgrupo de \(G\text{,}\) \(h' = a^k\) para algún entero \(k\text{.}\) Usando el algoritmo de la división, podemos encontrar \(q\) y \(r\) tales que \(k = mq +r\) con \(0 \leq r \lt m\text{;}\) luego,
Así \(a^r = a^k h^{-q}\text{.}\) Como \(a^k\) y \(h^{-q}\) están en \(H\text{,}\) \(a^r\) también debe estar en \(H\text{.}\) Pero \(m\) era el menor número positivo tal que \(a^m\) está en \(H\text{;}\) por lo tanto, \(r=0\) y \(k=mq\text{.}\) Luego,
Los subgrupos de \({\mathbb Z}\) son exactamente \(n{\mathbb Z}\) con \(n = 0, 1, 2,\ldots\text{.}\)
Proposición4.12
Sea \(G\) un grupo cíclico de orden \(n\) y supongamos que \(a\) es un generador para \(G\text{.}\) Entonces \(a^k=e\) si y solo si \(n\) divide a \(k\text{.}\)
Sea \(G\) un grupo cíclico de orden \(n\) y supongamos que \(a \in G\) es un generador del grupo. Si \(b = a^k\text{,}\) entonces el orden de \(b\) es \(n/d\text{,}\) con \(d = \gcd(k,n)\text{.}\)
Buscamos el menor entero positivo \(m\) tal que \(e = b^m = a^{km}\text{.}\) Por la Proposición 4.12, este es el menor entero positivo \(m\) tal que \(n\) divide a \(km\) o, equivalentemente, \(n/d\) divide a \(m(k/d)\text{.}\) Como \(d\) es el máximo común divisor de \(n\) y \(k\text{,}\) \(n/d\) y \(k/d\) son relativamente primos. Luego, para que \(n/d\) divida a \(m(k/d)\) debe dividir a \(m\text{.}\) El menor tal \(m\) es \(n/d\text{.}\)
Corolario4.14
Los generadores de \({\mathbb Z}_n\) son los enteros \(r\) tales que \(1 \leq r \lt n\) y \(\gcd(r,n) = 1\text{.}\)
Ejemplo4.15
Consideremos el grupo \({\mathbb Z}_{16}\text{.}\) Los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, y 15 son los elementos de \({\mathbb Z}_{16}\) que son relativamente primos con 16. Cada uno de estos elementos genera \({\mathbb Z}_{16}\text{.}\) Por ejemplo,
